[CF1601C]Optimal Insertion

本文主要是介绍[CF1601C]Optimal Insertion，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Optimal Insertion

题解

~~怎么一群人都可以在考场上切这道题呀~~

首先，我们观察到一个性质，我们最终得到的序列 $c$ 中，来自 $b$ 的元素的顺序一定是升序的，即权值不递减。
显然，对于 $b_{i}>b_{j}$ ， $b_{i}$ 的最优决策点一定不会在 $b_{j}$ 的左边，该性质在我们下面的转移过程中可以见得。
我们考虑加入 $b_{i}$ 时，将 $b_{i}$ 插入在 $a_{j}$ 后面时会贡献的逆序对数 $cost_{j}=\sum_{k=1}^{j}[a_{k}>b_{i}]+\sum_{k=j+1}^{n}[a_{k}<b_{i}]$ 。
显然，我们在 $b_{i}$ 变大的过程中， $\sum_{k=j+1}^{n}[a_{k}<b_{i}]$ 会不断变大， $\sum_{k=1}^{j}[a_k>b_i]$ 会不断变小。
而由于 $cost_{j-1}$ 肯定包含 $cost_{j}$ 的 $\sum_{k=j+1}^{n}[a_k<b_i]$ ，所以 $cost_{j-1}$ 的 $\sum_{k=j+1}^{n}[a_k<b_i]$ 部分增加速度肯定快于 $cost_{j}$ 。
同理， $cost_{j-1}$ 的 $\sum_{k=1}^{j}[a_k>b_i]$ 部分的减小速度也一定慢于 $cost_{j}$ 。
故 $cost_{j}$ 的增长速度是慢于 $cost_{j-1}$ ，所以我们的最优决策点是不断右移的。
很显然，我们可以用双指针加线段树维护我们的 $c o s t$ 值的变化，对于每个 $b_{i}$ 都加上最小的 $c o s t$ 即可。
时间复杂度 $O\left(n\log\,n\right)$ 。
注意维护原来 $a$ 序列的逆序对数。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;       
const int INF=0x3f3f3f3f;       
const int mo=998244353;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int zero=10000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<LL,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){_T f=1;x=0;char s=getchar();while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1LL)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1LL;}return t;}
int n,m,b[MAXN],T,tr[MAXN<<2],lzy[MAXN<<2],sum[MAXN];pii a[MAXN];LL ans;
void build(int rt,int l,int r){lzy[rt]=tr[rt]=0;if(l==r)return ;int mid=l+r>>1;build(lson,l,mid);build(rson,mid+1,r);tr[rt]=min(tr[lson],tr[rson]);
}
void pushdown(int rt){if(!lzy[rt])return ;tr[lson]+=lzy[rt];lzy[lson]+=lzy[rt];tr[rson]+=lzy[rt];lzy[rson]+=lzy[rt];lzy[rt]=0;
}
void modify(int rt,int l,int r,int al,int ar,int aw){if(l>r||l>ar||r<al||al>ar)return ;if(al<=l&&r<=ar){tr[rt]+=aw;lzy[rt]+=aw;return ;}int mid=l+r>>1;pushdown(rt);if(al<=mid)modify(lson,l,mid,al,ar,aw);if(ar>mid)modify(rson,mid+1,r,al,ar,aw);tr[rt]=min(tr[lson],tr[rson]);
}
void insert(int pos){while(pos)sum[pos]++,pos-=lowbit(pos);}
int query(int pos){int res=0;while(pos<=n)res+=sum[pos],pos+=lowbit(pos);return res;}
signed main(){read(T);while(T--){read(n);read(m);ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i].fir),a[i].sec=i;for(int i=1;i<=m;i++)read(b[i]);sort(a+1,a+n+1);sort(b+1,b+m+1);build(1,0,n);for(int i=1;i<=n;i++)modify(1,0,n,i,n,1);for(int i=1,j=1,k=1;i<=m;i++){for(;a[k].fir<=b[i]&&k<=n;k++)modify(1,0,n,a[k].sec,n,-1);for(;a[j].fir<b[i]&&j<=n;j++)modify(1,0,n,0,a[j].sec-1,1);ans+=1ll*tr[1];}for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=0;for(int i=1,j=1;i<=n;i++){while(a[j].fir<a[i].fir)insert(a[j].sec),j++;ans+=1ll*query(a[i].sec);}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}