本文主要是介绍掰开揉碎机器学习系列-决策树(1)-ID3决策树，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
一、决策树的理论依据：
1、熵的概念：
熵代表了数据分布的"稳定程度"(书上写的所谓纯度)，或者说是"分布的离散程度"。用掰开揉碎的方式解释如下：
如以下数据：
技术能力 积极度 年龄 前途
6 8 old normal
8 9 old yes
3 3 old no
7 5 old normal
7 7 young normal
7 6 old normal
8 5 old normal
2 2 old no
7 5 old normal
6 6 young normal
7 4 old normal
8 4 old normal
4 3 old no
5 4 old no
5 4 old no
6 4 old no
6 3 old normal
7 8 young yes
6 8 young yes
6 5 old no
上面是包括我在内的20个同部门员工的一个真实训练样本，分为3个维度考量，分别是技术能力(0-10整型)、工作积极度(0-10整型)、年龄(bool型)，样本的结果是前途(分为好中坏)。首先看看如何计算熵：
熵的计算公式是sum(0 - p(i) * log(p(i) * 2))，这个公式来源于香农，具体为什么我暂时无法解释(待续)。计算过程即: 0 - (p(yes)* log(p(yes), 2) - (p(no) * log(p(no), 2) - (p(normal), log(p(normal) * 2)= 0 -
(0.15 * log(0.15, 2)) - (0.35 * log(0.35, 2)) - (0.5 *log(0.5, 2)) = 1.44064544962
15%的人有前途，35%的人一般，50%的人没有前途，前景无望的人居多数，但依然不乏有一点前途及一小撮比较有前途的人。熵为1.44064544962。
这里要明确的发现，熵和特征分布无关，只和结果取值分布有关。
现在，部门裁员了，如果样本简化为：
6 8 old normal
8 9 old yes
3 3 old no
再次计算熵，0- (1/3 * log(1/3, 2)) - (1/3 * log(1/3, 2)) - (1/3 * log(1/3, 2)) = 0- log(1/3, 2) = 1.58496250072。裁员后，分布变的更加复杂了，前景好坏的人三分天下。熵变大了。
后来，有点前景的受不了都走了，部门换来两个毫无前途的庸人，样本变为了：
3 3 old no
5 4 old no
5 4 old no
再次计算熵，0- (1 * log(1, 2)) - (1 * log(1, 2)) - (1 * log(1, 2)) = 0 - log(1,2) = 0
可见，部门现在情况很稳定，完全都是前景无望的庸人了。熵降到冰点0了。
现在可以总结：
熵是什么？熵反应了当前样本的概率分布的稳定性，如果概率分布非常"分散"或"平均"，什么样的情况都有而且分布平均，那么熵会比较大，相反会更小。
2、信息增益
谈到信息增益，必须首先看2.1。
2.1、决策树大概是什么样子的：
蓝色代表了特征，红色代表了结果。
那么，很可能下面这样的一个样本，会训练出上面这样的决策树：
天气 老婆是否在家 老婆是否例假 采取的行动(结果)
好 不在 有 跟小三出去
好 不在 没有 跟小三出去
好 在 有 跟老婆出去
好 在 没有 跟老婆出去
不好 不在 有 玩游戏
不好 不在 没有 玩游戏
不好 在 有 玩游戏
不好 在 没有 啪啪啪
2.2、决策树希望是什么样子的：
决策树，作为由训练样本生成的模型，要尽力体现共性，避免过拟合。对于决策树的树形结构来说就要避免过多的分支，即避免过拟合。关于过拟合，在接下来的回归算法文章中还会不停的强调。
决策树如何避免过拟合？
1、 从决策树的正常创建过程来说：
树的每一层的根节点的特征不是随便取的，要根据当前这一层，样本数据以哪个特征作为这一层的根节点，样本数据的概率分布更难体现共性，即概率分布更为平稳，来决定由哪个特征作为该层的根节点。
2、 从剪枝的角度来说(后面CART/C4.5具体描述)：
前剪枝：在创建时就设置以某些条件来避免过拟合的生长
后剪枝：在决策树生成后修剪
关于2后面的决策树的改进版C4.5、CART讨论。
关于1，是ID3决策树的创建原则，这就要引入”信息增益”的概念。
2.3、信息增益
信息增益的定义：一个特征能够为分类系统带来多少信息，带来的信息越多，该特征越重要。它的计算方式是通过熵。
进一步就是：样本数据中的特征A，特征A的信息增益 = 样本数据的熵 - 它的各个取值里的条件熵之和，它的各个取值里的”取值概率 *条件熵”之和越小，则信息增益越大，则特征A越应该成为当前样本的决策树的根节点。或者说，作为根特征的特征A，其各个取值必须和各自的结果，有更强的相关性。
条件熵：在特征A的某个取值不变时，得到的子样本数据的熵。
即如何确定决策树的各层特征。举例样本数据如下：
老婆是否例假 天气如何 决定
是 好 玩游戏
是 不好 玩游戏
不是 好 啪啪啪
不是 不好 啪啪啪
样本熵 = 0 – 1/2 * log(1/2, 2) – 1/2 * log(1/2, 2) = 1
1、如果以”老婆是否例假”作为决策树的根特征：
取值”是”： 取值概率为1/2，子样本是：
好 玩游戏
不好 玩游戏
子样本的熵：0 – 1 *log(1, 2) – 1 * log(1, 2) = 0
取值”不是”： 取值概率为1/2，子样本是：
好 啪啪啪
不好 啪啪啪
子样本的熵：0 – 1 *log(1, 2) - 1 * log(1, 2) = 0
信息增益 = 1(样本熵) – 1/2(取值”是”概率) * 0(取值”是”的子样本熵) – 1/2(取值”不是”概率) * 0(取值”不是”的子样本熵) = 1
2、如果以”天气如何”作为决策树的根特征：
取值”好”： 取值概率为1/2，子样本是：
是 玩游戏
不是 啪啪啪
子样本的熵：0 - 1 /2 *log(1/2, 2) - 1 /2 * log(1/2, 2) = 1，取值概率为1/2
取值”不好”： 取值概率为1/2，子样本是：
是 玩游戏
不是 啪啪啪
子样本的熵：0 - 1 /2 *log(1/2, 2) - 1 /2 * log(1/2, 2) = 1，取值概率为1/2
信息增益 = 1(样本熵) – 1/2(取值”好”概率) * 1(取值”好”的子样本熵) – 1/2(取值”好”概率) * 1(取值”不好”的子样本熵) = 0
所以，以”老婆是否例假”作为决策树的根特征，比”天气如何”作为决策树的根特征，信息增益更大，应该以”老婆是否例假”作为根特征，用matplotlib画图如下：
该图的含义是：只要老婆没有例假就啪啪啪，否则就玩游戏。反之，如果以”天气如何”作为根特征，不论天气是”好”还是”不好”，都要再根据”老婆是否在家”的情况，做出不同的决定。
2.4、总结
当样本S有N个特征(N > 1)，作为根特征的特征A，必须符合特征A的各个取值，满足公式：min(sum(p(i)* Ent(S|A = Ai)))，含义是：作为根特征的特征A，它的每个取值，都要尽可能分散度更小(熵更小)的结果。
3、递归决策树
回到最开始的样本，这不是自黑，是一个真实的样本：
技术能力 积极度 年龄 前途
6 8 old normal
8 9 old yes
3 3 old no
7 5 old normal
7 7 young normal
7 6 old normal
8 5 old normal
2 2 old no
7 5 old normal
6 6 young normal
7 4 old normal
8 4 old normal
4 3 old no
5 4 old no
5 4 old no
6 4 old no
6 3 old normal
7 8 young yes
6 8 young yes
6 5 old no
共有3个特征，技术能力'tech', 积极程度'ispositive', 年龄'age'，作为决策树，按上面描述的方法，可以计算出根特征。根特征是”ispositive”。然后就需要计算在根特征是”ispositive”的各种取值下，哪个特征作为接下来的根特征。举例如下：比如说，决定职业球员能否取得成功，根特征是”身体素质”，那么在身体素质打9分的情况下，还有其他的特征进一步决定能否取得多大的成功，比如”职业态度”，在身体素质9分职业态度9分的情况下，还会有很多因素进一步影响能取得多大成功，事实上现实生活中，每一个结果也确实都是由多种多样的因素最终决定的。
ID3递归决策树，就是通过概率和熵，由min(sum(p(i)* Ent(S|A = Ai)))这个结论，一层一层的计算出当前样本中最具广泛意义的特征，根据其不同的取值，进一步收缩样本，再计算收缩后样本的最具广泛意义的特征，直到找到最终结果。
下面直接给出程序：
训练数据就是上面的数据，制表符分隔。
#coding:utf8
fromnumpy import *
frommath import log
importsys
importoperator
fromtreeplot import *#status.txt就是上面的训练数据
def createdataset ():#dataset = [[1, 1, 'yes'], [1, 1,'yes'], [1, 0, 'no'], [0, 1, 'no'], [0, 1, 'no']]#labels = ['no surfacing', 'flippers']f = open('status.txt')items = {}dataset = []while 1:l = f.readline().strip('\n')if l == "":breakary = l.split('\t')name = ary[0]items[name] = ary[1:]dataset.append(ary[1:])f.close()labels = ['tech', 'is positive', 'age']#labels = ['no problem', 'weather']return dataset, labels
#熵越大，说明情况越复杂，反之，什么情况越清晰
def calcEnt (dataset):map = {}for data in dataset:label = data[-1]if map.has_key(label):map[label] += 1else:map[label] = 1ent = 0.0for label in map:p = float(map[label])/float(len(dataset))print label, p, p * log(p, 2)ent -= p * log(p, 2)return ent
def split_by_feature (dataset, idx, val):res = []for data in dataset:if data[idx] == val:vec = data[:idx]vec.extend(data[idx + 1:])res.append(vec)return res
#对每个特征进行分析，计算每个特征的信息增益，每个取值的"概率 * 该特征值下子数据的熵"的和，找出变化最小即最稳定的是哪个特征
def find_bestfeature_tosplit_dataset (dataset, labels):feature_num = len(dataset[0]) - 1bestentgain = 0.0bestfeature = -1ent = calcEnt(dataset)#对每个特征进行分析#print "ent: %f" % entfor i in range(feature_num):values = set([data[i] for data in dataset])cur_ent = 0.0#print "\nfeature %s" % labels[i]#计算每个特征的信息增益，每个取值的"概率 * 该特征值下子数据的熵"的和，找出变化最小即最稳定的是哪个特征for value in values:res = split_by_feature(dataset, i, value)p = float(len(res))/float(len(dataset))cur_ent += p * calcEnt(res)#print "value %s, p(%f), ent(%f)" % (value, p, cur_ent)#print resentgain = ent - cur_ent#print "%s, entgain(%f)" % (labels[i], entgain)#entgain越大，即cur_ent越小，即(熵*概率)越小，即该情况越清晰if entgain > bestentgain:bestentgain = entgainbestfeature = ireturn bestfeature
def vote(classes):classcount = {}for vote in classes:if classcount.has_key(vote):classcount[vote] += 1else:classcount[vote] = 1sortedclasscount = sorted(classcount.iteritems(), key = operator.itemgetter(1), reverse = True)return sortedclasscount[0][0]
#递归决策树，依次找每个变化最稳定的特征，构成决策树
def createdtree (dataset, labels):#classes是当前所有的结果classes = [data[-1] for data in dataset]#如果当前都没有特征了，只剩下结果了，那就简单的看下哪个结果多就算是哪个if len(dataset[0]) == 1:#print "no feature"return vote(classes)#就一种结果了，不用计算什么根特征了，肯定就这个结果if len(classes) == classes.count(classes[0]):#print "direct result %s" % (classes[0]), datasetreturn classes[0]#计算根特征，进而构建当前的决策树bestfeatureidx = find_bestfeature_tosplit_dataset(dataset, labels)bestfeature = labels[bestfeatureidx]tree = {labels[bestfeatureidx]:{}}#print "best feature: %s" % bestfeature, datasetvalues = set(data[bestfeatureidx] for data in dataset)#当前特征已为决策树的根特征，干掉del(labels[bestfeatureidx])#当前根特征下，各个特征值的子数据的再决策for value in values:#这里千万不可以newlabels = labels，这样是引用，会破坏递归前labels。要newlabels = labels[:]，这样是拷贝newlabels = labels[:]print value, newlabels#按根特征的当前的取值，获取收缩后的样本newdataset = split_by_feature(dataset, bestfeatureidx, value)tree[bestfeature][value] = createdtree(newdataset, newlabels)return tree
if __name__ == "__main__":#加载训练样本数据dataset, labels = createdataset()#构建递归决策树tree = createdtree(dataset, labels)#画图createPlot(tree)关于matplotlib画决策层的图，直接贴出程序，暂先不讨论细节，matplotlib可能需要作为一个大专题来讨论。这是一个比较通用的程序，接收决策树参数即可使用。
#coding: utf8
import matplotlib.pyplot as plt#定义文本框和箭头格式
decisionNode = dict(boxstyle="sawtooth", fc="0.8") #定义判断节点形态
leafNode = dict(boxstyle="round4", fc="0.8") #定义叶节点形态
arrow_args = dict(arrowstyle="<-") #定义箭头 #绘制带箭头的注解
#nodeTxt：节点的文字标注, centerPt：节点中心位置,
#parentPt：箭头起点位置（上一节点位置）, nodeType：节点属性
def plotNode(nodeTxt, centerPt, parentPt, nodeType): createPlot.ax1.annotate(nodeTxt, xy=parentPt, xycoords='axes fraction', xytext=centerPt, textcoords='axes fraction', va="center", ha="center", bbox=nodeType, arrowprops=arrow_args )#计算叶节点数
def getNumLeafs(myTree): numLeafs = 0 firstStr = myTree.keys()[0] secondDict = myTree[firstStr] for key in secondDict.keys(): if type(secondDict[key]).__name__=='dict':#是否是字典 numLeafs += getNumLeafs(secondDict[key]) #递归调用getNumLeafs else: numLeafs +=1 #如果是叶节点，则叶节点+1 return numLeafs #计算数的层数
def getTreeDepth(myTree): maxDepth = 0 firstStr = myTree.keys()[0] secondDict = myTree[firstStr] for key in secondDict.keys(): if type(secondDict[key]).__name__=='dict':#是否是字典 thisDepth = 1 + getTreeDepth(secondDict[key]) #如果是字典，则层数加1，再递归调用getTreeDepth else: thisDepth = 1 #得到最大层数 if thisDepth > maxDepth: maxDepth = thisDepth return maxDepth#在父子节点间填充文本信息
#cntrPt:子节点位置, parentPt：父节点位置, txtString：标注内容
def plotMidText(cntrPt, parentPt, txtString): xMid = (parentPt[0]-cntrPt[0])/2.0 + cntrPt[0] yMid = (parentPt[1]-cntrPt[1])/2.0 + cntrPt[1] createPlot.ax1.text(xMid, yMid, txtString, va="center", ha="center", rotation=30)#绘制树形图
#myTree：树的字典, parentPt:父节点, nodeTxt：节点的文字标注
def plotTree(myTree, parentPt, nodeTxt): numLeafs = getNumLeafs(myTree) #树叶节点数 depth = getTreeDepth(myTree) #树的层数 firstStr = myTree.keys()[0] #节点标签 #计算当前节点的位置 cntrPt = (plotTree.xOff + (1.0 + float(numLeafs))/2.0/plotTree.totalW, plotTree.yOff) plotMidText(cntrPt, parentPt, nodeTxt) #在父子节点间填充文本信息 plotNode(firstStr, cntrPt, parentPt, decisionNode) #绘制带箭头的注解 secondDict = myTree[firstStr] plotTree.yOff = plotTree.yOff - 1.0/plotTree.totalD for key in secondDict.keys(): if type(secondDict[key]).__name__=='dict':#判断是不是字典， plotTree(secondDict[key],cntrPt,str(key)) #递归绘制树形图 else: #如果是叶节点 plotTree.xOff = plotTree.xOff + 1.0/plotTree.totalW plotNode(secondDict[key], (plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, leafNode) plotMidText((plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, str(key)) plotTree.yOff = plotTree.yOff + 1.0/plotTree.totalD def createPlot(inTree): fig = plt.figure(1, facecolor='white') fig.clf() axprops = dict(xticks=[], yticks=[]) createPlot.ax1 = plt.subplot(111, frameon=False, **axprops) plotTree.totalW = float(getNumLeafs(inTree)) #树的宽度 plotTree.totalD = float(getTreeDepth(inTree)) #树的深度 plotTree.xOff = -0.5/plotTree.totalW; plotTree.yOff = 1.0; plotTree(inTree, (0.5,1.0), '') plt.show() 结果如下图：
但可以感觉到，分支很多，有过拟合的感觉。针对这个样本，主要是训练样本数据的原因，但也引出了决策树如何避免过拟合的问题，接下来就需要学习更广泛的CART/C4.5决策树改进算法， 以及决策树的剪枝。
这篇关于掰开揉碎机器学习系列-决策树(1)-ID3决策树的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
