L^2准则下的多项式逼近，一个比较有意思的问题吧

本文主要是介绍L^2准则下的多项式逼近，一个比较有意思的问题吧，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

问题描述

实际上：$f(a)=\int (g-{\sum }_0^n{a}_i{x}^i{)}^2=\int g^2+\int ({\sum }_0^n{a}_i{x}^i{)}^2-2\int g{\sum }_0^n{a}_i{x}^i$

求偏导数：
$\frac{\partial f(a)}{\partial a_k}=2\int ({\sum }_0^n{a}_i{x}^i)x^k-2\int g\ast x^k=0$

等价于：
${\sum }_{i=0}^n\frac{a_i}{i+k+1}=\int g\ast x^k,k=0,...,n$。

写成矩阵格式：
$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1/2& 1/3& \cdots & 1/(n+1)\\ 1/2& 1/3& 1/4& \cdots & 1/(n+2)\\ 1/3& 1/4& 1/5& & 1/(n+3)\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \\ 1/(n+1)& 1/(n+2)& 1/(n+3)& \cdots & 1/(2n+1)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{g}_0\\ g_1\\ g_2\\ ⋮\\ g_n\end{array}\right]$

其中：$g_k=\int g\ast x^k,k=0,...,n$

也就是：$AB=G$。

求解

Mathematica求解如下：

fit[g_, n_] := Module[{G = Table[Integrate[g[x]*x^k, {x, 0, 1}], {k, 0, n}], A = Table[1/(i + j + 1), {i, 0, n}, {j, 0, n}]},LinearSolve[A, G].Table[x^k, {k, 0, n}]]

测试：

g[x_] := Sin[2.*Pi*x];
n = 3;
l = fit[g, n];
Plot[{l, g[x]}, {x, 0, 1}, PlotLabel -> StringJoin["n=", ToString[n]],Frame -> True]

输出为

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