Manacher 算法讲解

2024-03-09 05:48
文章标签 算法 讲解 manacher

本文主要是介绍Manacher 算法讲解,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

一:背景

  给定一个字符串,求出其最长回文子串。例如:

  1. s="abcd",最长回文长度为 1;
  2. s="ababa",最长回文长度为 5;
  3. s="abccb",最长回文长度为 4,即bccb。

以上问题的传统思路大概是,遍历每一个字符,以该字符为中心向两边查找。其时间复杂度为$O(n^2)$,效率很差。

1975年,一个叫Manacher的人发明了一个算法,Manacher算法(中文名:马拉车算法),该算法可以把时间复杂度提升到$O(n)$。下面来看看马拉车算法是如何工作的。

 作用:时间复杂度O(n)求解最长回文子串。

二:算法过程分析

由于回文分为偶回文(比如 bccb)和奇回文(比如 bcacb),而在处理奇偶问题上会比较繁琐,所以这里我们使用一个技巧,具体做法是:在字符串首尾,及各字符间各插入一个字符(前提这个字符未出现在串里)。

举个例子:s="abbahopxpo",转换为s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"(这里的字符 $ 只是为了防止越界,下面代码会有说明),如此,s 里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo,被转换为#a#b#b#a##o#p#x#p#o#,长度都转换成了奇数

定义一个辅助数组int p[],其中p[i]表示以 i 为中心的最长回文的半径,例如:

i012345678910111213141516171819
s_new[i]$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#
p[i] 1212521212121214121

可以看出,p[i] - 1正好是原字符串中以i为中心的最长回文串长度

接下来的重点就是求解 p 数组,如下图:

前提条件 设置两个变量,mx 和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界,

                    也就是  mx = id + p[id]

目的 :               求p[i],也就是以 i 为中心的最长回文半径,

如果i < mx,如上图,那么:

if (i < mx)  p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

 解释下代码含义: 首先 : 2 * id - i 为 i 关于 id 的对称点即上图的 j 点,

                                  假设我们都已经求出:p[id] 、p[j] ,其中 p[j]以 j 为中心的最长回文半径

                                    p[id]以id为中心的最长回文半径。

                                  那我们可以就利用 p[j] 和 p[id] 来加快查找,

                                  为什么?看图说话,从上图 ,我们只能看出  p[i]  等于 mx-i 和 p[id] 较小的那个,

                                  也就是  p[i] = min (p[2 * id - i], mx - i )  ;但是  p[i] 有可能:还可以变大,或者不能变大了,

                                  但是 我们不能 从比较过得数据推算出来,

                                   只能从p[i] = min (p[2 * id - i], mx - i ) 开始,继续老老实实的找; 

                                    为什么是O(n)最后再说。

                                   

 

   如果 i >=mx  就老老实实的一个一个找。

 

三:算法复杂度分析

文章开头已经提及,Manacher算法为线性算法,即使最差情况下其时间复杂度亦为$O(n)$,在进行证明之前,我们还需要更加深入地理解上述算法过程。

根据回文的性质,p[i]的值基于以下三种情况得出:

(1):j 的回文串有一部分在 id 的之外,如下图:

上图中,黑线为 id 的回文,i 与 j 关于 id 对称,红线为 j 的回文。那么根据代码此时p[i] = mx - i,即紫线。那么p[i]还可以更大么?答案是不可能!见下图:

假设右侧新增的紫色部分是p[i]可以增加的部分,那么根据回文的性质,a 等于 d ,也就是说 id 的回文不仅仅是黑线,而是黑线+两条紫线,矛盾,所以假设不成立,故p[i] = mx - i,不可以再增加一分。

(2):j 回文串全部在 id 的内部,如下图:

根据代码,此时p[i] = p[j],那么p[i]还可以更大么?答案亦是不可能!见下图:

假设右侧新增的红色部分是p[i]可以增加的部分,那么根据回文的性质,a 等于 b ,也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ,矛盾,所以假设不成立,故p[i] = p[j],也不可以再增加一分。

(3):j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合,见下图:

根据代码,此时p[i] = p[j]p[i] = mx - i,并且p[i]还可以继续增加,所以需要

while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]]) p[i]++;

根据(1)(2)(3),很容易推出Manacher算法的最坏情况,即为字符串内全是相同字符的时候。在这里我们重点研究Manacher()中的for语句,推算发现for语句内平均访问每个字符5次,即时间复杂度为:$T_{worst}(n)=O(n)$。

同理,我们也很容易知道最佳情况下的时间复杂度,即字符串内字符各不相同的时候。推算得平均访问每个字符4次,即时间复杂度为:$T_{best}(n)=O(n)$。

综上,Manacher算法的时间复杂度为$O(n)$

四:代码

#include <iostream>  
#include <cstring>
#include <algorithm>  using namespace std;char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];int Init()
{int len = strlen(s);s_new[0] = '$';s_new[1] = '#';int j = 2;for (int i = 0; i < len; i++){s_new[j++] = s[i];s_new[j++] = '#';}s_new[j] = '\0';  // 别忘了哦return j;  // 返回 s_new 的长度
}int Manacher()
{int len = Init();  // 取得新字符串长度并完成向 s_new 的转换int max_len = -1;  // 最长回文长度int id;int mx = 0;for (int i = 1; i < len; i++){if (i < mx)p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);  // 需搞清楚上面那张图含义, mx 和 2*id-i 的含义elsep[i] = 1;while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])  // 不需边界判断,因为左有'$',右有'\0'p[i]++;// 我们每走一步 i,都要和 mx 比较,我们希望 mx 尽可能的远,这样才能更有机会执行 if (i < mx)这句代码,从而提高效率if (mx < i + p[i]){id = i;mx = i + p[i];}max_len = max(max_len, p[i] - 1);}return max_len;
}int main()
{while (printf("请输入字符串:\n")){scanf("%s", s);printf("最长回文长度为 %d\n\n", Manacher());}return 0;
}

 

这篇关于Manacher 算法讲解的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/789695

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