（FJWC2020）DTOJ 4696. pm

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题意

有一个长度为$n$的排列$p$，你可以对它进行若干次把相邻两个数交换的操作，使得操作数$+(i!=p[i])$的$i$的个数之和最小。

题解

考场思路：
剩下不到一小时开始想，注意到相同的操作不会重复进行，（容易证明）。于是交换操作是有用的，当且仅当能把完全乱序的包含$l,...,r$区间[l,r]通过r-l次操作变为$l,...,r$。一段区间能换的条件是什么呢?直观地想，$l$这个数一定要换到位置$l$，之后不知道为什么想假了，也没时间对拍，于是只拿到了20的暴力。
正解：
题解做法好像会复杂一点，自己想（自闭）了半天，发现题目有很强的性质，利用它就可以得到一个很简单的做法。
先考虑一段区间能换的条件：继续直观地想下去，$l+1$这个数要换到$l+1$，以此类推，条件就是区间逆序对对数等于$r-l$。
于是问题变为找到尽量多的互不相交区间$[l,r]$，满足：
1.$a[i]!=i(l\le i\le r)$
2.$[l,r]$内的数都出现一次
3.逆序对数$=r-l$
条件2相当于区间$max=l,min=r$，看起来比较好考虑，先从它下手：
发现互不相交是一个比较麻烦的问题，但注意到对于两个有交集的合法区间，只可能取它们的交集（满足条件2且更可能满足条件1,3，且可以使答案尽量大）。于是只需对每一个右端点维护最后一个满足条件2的左端点（容易用单调栈维护），从最前面开始取，后面的区间若被前面覆盖到，舍去即可。
问题剩下给定一个区间，判断是否满足条件$1,3$，由于区间的总长不超过$n$，直接扫一遍即可，复杂度$O(nlogn)$，瓶颈在于求逆序对个数。

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