（FJWC2020）DTOJ 4680. 红黑兔

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题意

上个月，PinkRabbit 在算法竞赛网站 Codeforces 一把打上了 ILGM。

PinkRabbit 现在看到了一道简单题，但他忙于水知乎夺取 Codeforces 世界榜首，于是把问题交
给了你：

给定一个长度为 $n$ 的只包含小写英文字母的字符串 $s$，你需要找到一个最大的 $k$ ，使得存在：
$$1\le l_1\le r_1<l_2\le r_2<l_3\le r_3<\cdots <l_k\le r_k\le n$$

（即 $k$ 个区间 $[l_1,r_1][l_2,r_2]\cdots [l_k,r_k]$ 的左右端点都递增且两两不相交）

使得对于每个 $1\le i<k$ ，都满足 $s[l_{i+1}\cdots r_{i+1}]$ 是 $s[l_i\cdots r_i]$ 的严格子串。

其中 $s[l\cdots r]$ 表示字符串 $s$ 的第 $l$ 到第 $r$ 个字符组成的字符串。

字符串 $A$ 是字符串 $B$ 的严格子串，当且仅当从 $B$ 的开头和结尾各删掉若干个字符（从开头和结尾
删掉的字符个数都可以是零个，但删掉的字符个数之和必须大于 $0$）能够得到 $A$ 。

子任务1 （10 分）：$n\le 100$ ；

子任务2 （15 分）： $n\le 1000$；

子任务3 （25 分）： $n\le 3\times 10^4$；

子任务4 （30 分）： $n\le 10^5$；

子任务5 （20 分）：无特殊限制。

对于所有的数据，有 $1\le n\le 5\ast 10^5$ ，字符串仅包含小写英文字母。

题解

考虑暴力，从后往前，记$f[i][j]$为最后一段为$[i,j]$的最大答案，转移时枚举下一个和它相同的串，显然只拓展一位是最优的，效率$O(n^3)$。（考场做法，竟然过了$n=1000$的点）。
考虑优化，改为被动转移，将可以转移过来的值记在哈希表上即可做到$O(n^2)$（然而不能多得分） 。其实注意到既然最优答案的每个串长度依次是$1,2,...,k$的（所以最后一个串长=答案），这样串的长度不会超过$\sqrt{n}$，效率可以优化为$O(n\sqrt{n})$（正解和这个并没有关系） 。考场上这两者都没想到很不应该。
发现瓶颈在于状态数，考虑是否需要那么多状态。对于一个结尾，它的最大答案是单调的：即如果可以为$x$，则一定也可以比$x$小（每个串都去掉开头或都去掉结尾即可少1）。利用这个优化状态：记$f[i]$为以$i$为结尾的最大答案，转移时，直接二分$f[i]$判断是否合法，则合法的转移点$j$应满足：
1.$j>i+f[i]$
2.$f[j]\ge f[i]-1$
3.$f[i]\le lcp(i,j)$ 或 $f[i]\le lcp(i+1,j)$
用主席树+SA可以维护，效率为$O(nlo{g}^{2}n)$。
考虑利用单调性来避免二分：类似$f[i]$的单调性，可猜想并证明$f[i]\le f[i+1]+1$，于是直接推指针即可，效率$O(nlogn)$。

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