m数据结构 day16 图（六）拓扑排序：为有向无环图构造拓扑序列

拓扑排序

拓扑排序是很重要的，对于DAG有很大的应用价值。

基础

主角：有向无环图 DAG

有向无环图常常应用于工程规划中，通过拓扑排序可以有效分析出一个图中是否有环，如果不存在，那么他的拓扑序列是什么。

看了B站几个视频，大致了解了一点，现在开始自己看书，自己思考，自己总结。

拓扑排序要做的事情：把有向无环图的所有顶点排成一条线性序列，即拓扑序列。拓扑序列需要满足的唯一条件就是：只要v到w能走通，那v就必须排在w的前面。

拓扑序列不唯一。

AOV网 VS AOE网

所有讲拓扑排序的视频和书都要提到这两个名词，所以这两个词很重要，还是要好好理解一下。

我觉得这两种网络就是就是两种特殊的图而已，特殊在于他们都是对工程建模，是为了适应某种工程应用需求而产生的，所以让顶点，边，权表示和普通网图不一样的含义，对他们使用的算法（比如对AOV拓扑排序，对AOE找关键路径）也和普通网图不一样，但这些不一样都是为了去迎合他们背后的应用需求，所以给他们起个特殊名字也并不难理解，因为他们也具有了一定通用性，塑造了一个不可忽视的类型。

AOV网（点表示活动，弧表示活动之间的制约关系）

AOV网，activity on vertex network, 一般用于表示工程的流程。即用顶点表示活动的有向网，而弧表示活动之间的制约关系，主要是活动执行的先后顺序。AOV网中不能有回路，因为你不能要求某个活动的执行要以自己的执行为先决条件。

AOE网（弧表示活动，弧的权值表示活动的持续时间，点表示事件）

AOE网，activity on edge network，用弧表示活动的有向网，弧的权值表示活动的持续时间，用顶点表示事件。

AOE网中没有入边的顶点叫做始点或者源点，没有出边的顶点称为终点或者汇点。

正常情况下，AOE网只有一个源点和一个汇点。因为一个工程只有一个开始和一个结束。比如：

拓扑排序判断网是否有环

如果拓扑排序能把网的所有顶点都输出，则无环；否则有环，且剩下的顶点们就是环的顶点（可能不止一个环）。就算只少了一个顶点也是有环，即少的那个顶点的自环。

算法1：khan算法，思路好理解,$O(n+e)$

拓扑排序的实现算法不止一种，常见的有两个，一个是khan算法，一个是基于深度优先搜索的，各有特点，khan算法适合考试，因为容易理解，容易做题，但是计算机上代码相对复杂点。而基于DFS的，则理解起来难一点，因为是逆序，但是代码极其简单，所以工程中用的更多。

khan算法：

这个思路，需要删除顶点以及顶点的出边，所以邻接表存储结构很适合，但是又要知道每个顶点的入度是否为0，所以需要给邻接表的结点结构增加一个数据域，存储入度。

比如，下面这个图：

转换为邻接表存储结构为：

代码

边结点结构，顶点结点结构，邻接表结构

typedef struct EdgeNode
{int adjvex;//弧头顶点的下标int weight;//权值struct EdgeNode * nextEdge;
}EdgeNode;typedef struct VertexNode
{int in;//入度int data;EdgeNode * firstEdge;
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];typedef struct
{AdjList adjlist;int numV, numE;
}GraphAdjList;

拓扑排序,要用栈来存储入度为0的点

当然用队列也是可以的，但是这里用数组做一个动态的栈最方便，记得函数最后一定要释放内存哦

/*如果图G没有环，则输出拓扑序列并返回true,否则返回false*/
bool TopologicalSort(GraphAdjList * G)
{int count = 0;//已输出顶点的个数int * stack;//栈，存储入度为0的顶点int top = -1;//指向栈顶stack = (int *)malloc(G->numV * sizeof(int));//动态分配内存，避免宏定义值过大带来或过小的问题int i;//遍历所有顶点，把入度为0的顶点的在顶点表数组的下标入栈for (i=0;i<G->numV;++i)if (G->adjlist[i].in == 0)stack[++top] = i;int gettop;EdgeNode * e;while (top!=-1){gettop = stack[top--];//取出栈顶元素printf("%d -> ", G->adjlist[gettop].data);//打印这个元素，即加入拓扑序列++count;//遍历此顶点的边表，把边表的每个结点的顶点的入度减1(相当于删去了第gettop个点和他的出边)int k;for(e=G->adjlist[gettop].firstEdge;e!=NULL;e=e->nextEdge){k = e->adjvex;if (!(--G->adjlist[k].in))//如果这些顶点入度更新为0则也入栈stack[++top] = k;}}free(stack);if (count < G->numV)return false;return true;
}

时间复杂度分析：

不考虑有环的图，因为无环图需要的操作更多。第一个for把所有入度为0的点入栈，$O(n)$;而后面的while循环里，每一个点出栈，都要执行他的出度边数目的操作次数，所有点都要出栈，所以总共的操作系数是总的边数，即e,所以是$O(e)$.

所以总的是$O(n+e)$

下面的C++实现，来自这个博文，也很好，用了vector

//Kahn算法,关键在于需要维护一个入度为0的顶点的集合
int n,m;
int inDeg[N];  //i点的入度
vector<int>vec[N];  //i点的邻接表,即i与哪些点相连
int ans[N];    //排序结果数组int topSort()    //返回值代表是否有环,排序结果在ans数组
{int cnt=0;queue<int>q;  //如果需要相同优先级的顶点,序号小的先输出,则可建立优先队列,即//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;while(!q.empty())q.pop();for(int i=1;i<=n;i++)if(inDeg[i]==0)q.push(i);while(!q.empty()){int now = q.front();q.pop();ans[++cnt]=now;     //个数+1并存数组int len = vec[now].size();for(int i=0;i<len;i++){inDeg[vec[now][i]]--;if(inDeg[vec[now][i]]==0)q.push(vec[now][i]);}}return (cnt==n)?1:0;  //是否等于n,等于n代表无环
}void init()  //输入数据,n个点,m条边
{int x,y;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)vec[i].clear();memset(inDeg,0,sizeof(inDeg));for(int i=1;i<=m;i++){cin>>x>>y;inDeg[y]++;vec[x].push_back(y);}
}

算法2：基于DFS，代码好写

代码

也来自这个博文

//dfs实现,从出度的角度来构造,递归到最后返回
int n,m;
vector<int>vec[N];  //i点的邻接表,即i与哪些点相连
int ans[N],cnt;    //排序结果数组,cnt记录个数
int parent[N]; //记录其前置节点
//int d[N], Time, f[N]; //可以不要,时间time初始化为0，d[]记录第一次被发现时，f[]记录结束检查时
int vis[N];  //标记数组vis[i]=0表示还未访问过点i,c[i]=1表示已经访问过点i，并且还递归访问过它的所有子孙，c[i]=-1表示正在访问中，尚未返回bool dfs(int s)  //深度优先搜索（邻接表实现），记录时间戳，寻找最短路径
{vis[s]=-1;   //正在访问//Time++;d[s]=Time;int len = vec[s].size();for(int i=0;i<len;i++){int tmp=vec[s][i];if(vis[tmp]<0) //如果子孙比父亲先访问，说明存在有向环，失败退出return false;else if(!vis[tmp]&&!dfs(tmp)) //如果子孙未被访问，访问子孙返回假，说明也是失败return false;parent[tmp]=s;}vis[s]=1;//Time++;f[s]=Time;ans[cnt++]=s;  //结果是逆序的,递归的原因return true;
}bool topSort()    //返回值代表是否有环,排序结果在ans数组
{cnt=0;for(int i=1;i<=n;i++){parent[i]=-1;vis[i]=0;}//Time=0;for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i])if(dfs(i)==false)return false;return true;
}void init()  //输入数据,n个点,m条边
{int x,y;for(int i=1;i<=n;i++)vec[i].clear();for(int i=1;i<=m;i++){cin>>x>>y;vec[x].push_back(y);}
}