【洛谷 P8707】[蓝桥杯 2020 省 AB1] 走方格题解（动态规划）

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[蓝桥杯 2020 省 AB1] 走方格

题目描述

在平面上有一些二维的点阵。

这些点的编号就像二维数组的编号一样，从上到下依次为第 $1$ 至第 $n$ 行，从左到右依次为第 $1$ 至第 $m$ 列，每一个点可以用行号和列号来表示。

现在有个人站在第 $1$ 行第 $1$ 列，要走到第 $n$ 行第 $m$ 列。只能向右或者向下走。

注意，如果行号和列数都是偶数，不能走入这一格中。

问有多少种方案。

输入格式

输入一行包含两个整数 $n$ ， $m$ 。

输出格式

输出一个整数，表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

3 4

样例输出 #1

提示

$1\le n,m\le30$ 。

蓝桥杯 2020 第一轮省赛 A 组 G 题（B 组 H 题）。

思路

首先，定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从网格的左上角(1,1)到当前位置(i,j)的路径数量。dp的大小为(N,N)，其中N是一个预设的常数。

接着，从输入中读取网格的实际大小n和m。n和m分别表示网格的行数和列数。

然后，初始化dp数组的第一行和第一列。由于只能向右或向下走，所以从(1,1)到第一行或第一列的任何位置都只有一种走法，所以将dp数组的第一行和第一列都设为1。

易知状态转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

接下来，使用两个嵌套的for循环遍历dp数组的剩余部分。对于每个位置(i,j)，如果行号i和列数j都是偶数，则不能走入这个位置，所以将dp[i][j]设为0。否则，从(1,1)到(i,j)的路径数量是从(1,1)到(i-1,j)的路径数量（即dp[i-1][j]）和从(1,1)到(i,j-1)的路径数量（即dp[i][j-1]）的和。这是因为只能向右或向下走，所以(i,j)只可能从(i-1,j)或(i,j-1)到达。

最后，输出dp[n][m]，即从(1,1)到(n,m)的路径数量。

注意

如果行号和列数都是偶数，不能走入这一格中。

AC代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;const int N = 1e4 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;int n, m;
int dp[N][N];int main() {ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n >> m;dp[1][1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {dp[i][1] = 1;}for (int j = 2; j <= m; j++) {dp[1][j] = 1;}for (int i = 2; i <= n; i++) {for (int j = 2; j <= m; j++) {if (!((i % 2) || (j % 2))) {// 如果行号和列数都是偶数，不能走入这一格中。dp[i][j] = 0;continue;}dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];}}cout << dp[n][m] << "\n";return 0;
}