利用matlab进行多项式求根——符号解

问题描述：对于一个方程，比如：$a{x}^2+bx+c=0$，我们想要求出关于x的表达式（求根）。

如果a，b，c是已知的，或者说是某个确定的数值，那么我们就可以直接用roots函数进行求根——数值解：

p=[1 2 1]
roots(p)

返回结果是：

ans =-1-1

显然这里的a，b，c是未知的，我们想要求出x的表达式——符号解。那么我么可以用solve函数来实现：

syms a b c x                          % 声明参数
eqn = a*x^2 + b*x + c == 0;    
solx = solve(eqn, x)               

返回结果是：

solx =-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)-(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

其中，solve（eqn，x）表示对等式eqn关于x的求解（同样地，也可以求解关于a或b或c的解）。eqn可以是一个等式，也可以是一个表达式，如果是一个表达式，则默认是对eqn=0求解。

需要注意的是，solve函数并不一定总是返回方程的所有解，比如：

syms x
solx = solve(cos(x) == -sin(x), x)

返回结果是：

solx =
-pi/4

如果我们需要返回所有可能的解，可以设置“ReturnConditions"选项为true。如下所示：

[solx, param, cond] = solve(cos(x) == -sin(x), x, 'ReturnConditions', true)

返回结果是：

solx =
pi*k - pi/4
param =
k
cond =
in(k, 'integer')

如上所示，返回值有三个参数，分别是解、解的参数、解的条件。
solx =pi*k - pi/4
param =k
cond =in(k, ‘integer’)

进一步深入：对于上述有多个解的情况，如何返回在指定区间内或满足特定条件的解呢？

• 第一步：求出方程的所有可能解（带有参数param和条件cond），即方程的通解。例如：方程$cos(x)=-sin(x)$，通解为：$solx=k\pi -\frac{\pi }{4}$（其中k为参数，k为整数）。

matlab实现：

syms x
[solx, param, cond] = solve(cos(x) == -sin(x), x, 'ReturnConditions', true)

• 第二步：求出在指定区间内或满足特定条件的解对应参数的所有可能取值。例如：对于方程$cos(x)=-sin(x)$，求出在区间$(-2\pi ,2\pi )$内的解，于是k的所有可能取值等价于求不等式$-2\pi <k\pi -\frac{\pi }{4}<2\pi$，即$k=-1，0，1，2$

matlab实现：

assume(cond)
solk = solve(-2*pi<solx, solx<2*pi, param)

• 第三步：把参数的所有可能取值代入方程通解的表示式中，即得到在指定区间内或满足特定条件的解。把$k=-1，0，1，2$代入到$solx=k\pi -\frac{\pi }{4}$，于是满足条件的解为：$xvalues=-\frac{5\pi }{4},-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$

matlab实现：

xvalues = subs(solx, solk)
xvalues = vpa(xvalues)         % 把符号解转换成数字解

解的可视化

绘制$cos(x)==-sin(x)$的解：分别绘制cos(x)和 -sin(x)，再标记出两个曲线的交点。

matlab实现：

fplot(cos(x))
hold on
grid on
fplot(-sin(x))
title('Both sides of equation cos(x) = -sin(x)')
legend('cos(x)','-sin(x)','Location','best','AutoUpdate','off')yvalues = cos(xvalues)          % 计算交点的纵坐标scatter(xvalues, yvalues)        % 标出交点的位置