正弦波生成的傅里叶级数展开法

2024-03-04 12:52

本文主要是介绍正弦波生成的傅里叶级数展开法,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

目录:

一、积分法

二、傅里叶级数展开法

附录、常见波形的傅里叶级数


一、积分法

通过对三角波进行积分,即可得到正弦波。有关内容移步:运算放大器应用汇总1之六、积分电路

下面对傅里叶级数展开法进行描述。

二、傅里叶级数展开法

三角波可以看作是许多不同频率正弦波的叠加,有关内容移步:信号与系统。

通过对三角波进行傅里叶级数展开,可以得到基波和奇次谐波,如下图所示。该三角波在区间[-T/2,T/2]的傅里叶级数展开式为:

将其展开:

通过设计适当的低通滤波器,取出基波并滤除高次谐波,即可得到正弦波。

下面的电路为二阶低通滤波器:

原文件下载:三角波转正弦波

需要注意的是:此低通滤波器的通带截止频率应大于三角波的基波频率且小于三角波的三次谐波频率。 

附录、常见波形的傅里叶级数

1、预备知识

1)公式

给定一个周期为的函数,那么它可以表示为无穷级数:

其中傅里叶系数为:

2)性质

  • 收敛性

在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下:

  • 在定义区间上,X(t)需绝对可积;
  • 在任一有限区间中,X(t)只能取有限个极值点;
  • 在任何有限区间上,X(t)只能有有限个第一类间断点。

满足上述条件的X(t)傅里叶级数都收敛,且:

  • 当t是X(t)的连续点时,级数收敛于X(t)
  • 当X(t)是X(t)的间断点时,级数收敛于
  • 正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧式空间中,互相垂直的向量之间是正交的。三角函数族的正交性用公式表示出来就是:

  • 奇偶性

奇函数fo(X)可以表示为正弦级数,而偶函数fe(X)则可以表示成余弦级数:

2、几种常见波形的傅里叶级数

如上图所示,该梯形波是一个周期为T的奇函数,幅值为Amax,上升沿时间为d,在区间[0,T/2]的函数表达式为:

由奇偶性可知,该波形在区间[-T/2,T/2]的傅里叶级数展开式为:

其中傅里叶系数为:

将f(t)函数代入傅里叶系数表达式中,可得:


可得:

综上所述,可以得到该梯形波在区间[-T/2,T/2]的傅里叶级数展开式为:


其中:ω = 2π/T。

1)脉冲波(偶函数)

如上图所示,该脉冲波是一个周期为T的偶函数,幅值为Amax,脉冲宽度为αT,在区间[-T/2,T/2]的函数表达式为:

由奇偶性可知,该波形在区间[-T/2,T/2]的傅里叶级数展开式为:

其中傅里叶系数为:

将f(t)函数代入傅里叶系数表达式中,可得:

因此,可以得到该梯形波在区间[-T/2,T/2]的傅里叶级数展开式为:

其中:ω = 2π/T。

2)方波(奇函数)

同理,该方波在区间[-T/2,T/2]的傅里叶级数展开式为:

其中:ω = 2π/T。

3)三角波(奇函数)

上面已经有述,故不再赘述。

4)锯齿波(非奇非偶函数)

该锯齿波如上图所示,在区间[0,T]的函数表达式为:

由于该函数为非奇非偶函数,因此,该波形在区间[0,T]的傅里叶级数展开式为:

其中傅里叶系数为:

将f(t)函数代入傅里叶系数表达式中,可得:

因此,可以得到该锯齿波在区间[0,T]的傅里叶级数展开式为:

知道自己是什么年纪,并把这个年纪能做好的事情尽力做好,才可能有下个年纪的随心所欲。觉得不错,动动发财的小手点个赞哦!


这篇关于正弦波生成的傅里叶级数展开法的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/773231

相关文章

Java编译生成多个.class文件的原理和作用

《Java编译生成多个.class文件的原理和作用》作为一名经验丰富的开发者,在Java项目中执行编译后,可能会发现一个.java源文件有时会产生多个.class文件,从技术实现层面详细剖析这一现象... 目录一、内部类机制与.class文件生成成员内部类(常规内部类)局部内部类(方法内部类)匿名内部类二、

使用Jackson进行JSON生成与解析的新手指南

《使用Jackson进行JSON生成与解析的新手指南》这篇文章主要为大家详细介绍了如何使用Jackson进行JSON生成与解析处理,文中的示例代码讲解详细,感兴趣的小伙伴可以跟随小编一起学习一下... 目录1. 核心依赖2. 基础用法2.1 对象转 jsON(序列化)2.2 JSON 转对象(反序列化)3.

java中使用POI生成Excel并导出过程

《java中使用POI生成Excel并导出过程》:本文主要介绍java中使用POI生成Excel并导出过程,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助,如有错误或未考虑完全的地方,望不吝赐教... 目录需求说明及实现方式需求完成通用代码版本1版本2结果展示type参数为atype参数为b总结注:本文章中代码均为

在java中如何将inputStream对象转换为File对象(不生成本地文件)

《在java中如何将inputStream对象转换为File对象(不生成本地文件)》:本文主要介绍在java中如何将inputStream对象转换为File对象(不生成本地文件),具有很好的参考价... 目录需求说明问题解决总结需求说明在后端中通过POI生成Excel文件流,将输出流(outputStre

python展开嵌套列表的多种方法

《python展开嵌套列表的多种方法》本文主要介绍了python展开嵌套列表的多种方法,包括for循环、列表推导式和sum函数三种方法,具有一定的参考价值,感兴趣的可以了解一下... 目录一、嵌套列表格式二、嵌套列表展开方法(一)for循环(1)for循环+append()(2)for循环+pyPhWiFd

C/C++随机数生成的五种方法

《C/C++随机数生成的五种方法》C++作为一种古老的编程语言,其随机数生成的方法已经经历了多次的变革,早期的C++版本使用的是rand()函数和RAND_MAX常量,这种方法虽然简单,但并不总是提供... 目录C/C++ 随机数生成方法1. 使用 rand() 和 srand()2. 使用 <random

Flask 验证码自动生成的实现示例

《Flask验证码自动生成的实现示例》本文主要介绍了Flask验证码自动生成的实现示例,文中通过示例代码介绍的非常详细,对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值,需要的朋友们下面随着小编来一起学习... 目录生成图片以及结果处理验证码蓝图html页面展示想必验证码大家都有所了解,但是可以自己定义图片验证码

Python如何在Word中生成多种不同类型的图表

《Python如何在Word中生成多种不同类型的图表》Word文档中插入图表不仅能直观呈现数据,还能提升文档的可读性和专业性,本文将介绍如何使用Python在Word文档中创建和自定义各种图表,需要的... 目录在Word中创建柱形图在Word中创建条形图在Word中创建折线图在Word中创建饼图在Word

nginx生成自签名SSL证书配置HTTPS的实现

《nginx生成自签名SSL证书配置HTTPS的实现》本文主要介绍在Nginx中生成自签名SSL证书并配置HTTPS,包括安装Nginx、创建证书、配置证书以及测试访问,具有一定的参考价值,感兴趣的可... 目录一、安装nginx二、创建证书三、配置证书并验证四、测试一、安装nginxnginx必须有"-

Java实战之利用POI生成Excel图表

《Java实战之利用POI生成Excel图表》ApachePOI是Java生态中处理Office文档的核心工具,这篇文章主要为大家详细介绍了如何在Excel中创建折线图,柱状图,饼图等常见图表,需要的... 目录一、环境配置与依赖管理二、数据源准备与工作表构建三、图表生成核心步骤1. 折线图(Line Ch