运筹学_1.1.4 线性规划问题-解的概念

2024-03-03 01:20

本文主要是介绍运筹学_1.1.4 线性规划问题-解的概念,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

1.1.4 线性规划问题-解的概念

  • 一、可行解与最优解
  • 二、基的概念
  • 三、基变量、基向量;非基变量、非基向量;基解、基可行解;
  • 四、最优解与可行解、基可行解的关系
  • 五、用例题(枚举法)巩固基解、基可行解、最优解三个概念
    • 1、例1
    • 2、例2
  • 六、解之间的关系归纳

一、可行解与最优解

在这里插入图片描述

可行解:满足所由约束条件的解【全部可行解的集合称为可行域】
最优解:使目标函数最大的可行解
因此最优解包含于可行解

二、基的概念

:设A是约束方程组(2)的m×n阶系数矩阵(设n>m变量的个数大于方程的个数),其秩为m
B是A中的一个m×m阶的满秩子矩阵(|B|≠0的非奇异子矩阵),则称B为线性规划问题的一个基。
B实际上就是A的一个极大线性无关组

问题1:为什么秩就为m?
实际过程中,在建模时列约束条件,默认列出来的方程为独立方程(而不会出现两个方程化简后相同的无效方程情况)

问题2:为什么n>m?
实际情况中,决策变量的个数通常也是大于方程的个数

在这里插入图片描述

三、基变量、基向量;非基变量、非基向量;基解、基可行解;

设方程组有m个方程,n个变量,其中n>m.R(A)=m,方程组有n-m个自由未知量,即方程组一定有无穷多个解。
n=m时只有唯一解,实际情况很少出现。

在这里插入图片描述

假设:方程组中前m个变量的系数列向量就是它的基向量(极大线性无关组)
则把(n-m)个非基向量移项到右边

在这里插入图片描述

非基变量可以是任意常数,因此令所有非基变量为0,又因为|B|≠0,据克莱姆法则,可求出唯一解;
从而得到第一个初始解XB
则X=(XB,XN)

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

因此,在约束方程组中的系数矩阵中找到一个基,就能求出一组基解

在这里插入图片描述

基解不一定是可行解
基解:根据基求得的解
基可行解:基解中所有分量都满足非负条件的解
可行基:对应于基可行解的基

四、最优解与可行解、基可行解的关系

最优解一定在可行解当中,那最优解一定包含在基可行解中吗?
1、当最优解唯一时,最优解也是基最优解;
2、当最优解不唯一时,最优解不一定是基最优解

在这里插入图片描述

五、用例题(枚举法)巩固基解、基可行解、最优解三个概念

基的数目为:C(m,n)- 行列式为0的矩阵数,
基可行解为:分量都为非负的基解

1、例1

在这里插入图片描述
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2、例2

在这里插入图片描述

六、解之间的关系归纳

可以用图解法辅助理解

在这里插入图片描述

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