Leetcoder Day34｜动态规划part01

本文主要是介绍Leetcoder Day34｜动态规划part01，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

动态规划理论基础

什么是动态规划

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

所以动态规划的每一个状态一定是从上一个状态推导出来的，这一点有别于贪心算法，贪心是从局部直接选择最优，不需要推导。

比如背包问题：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

贪心算法思路：每次拿物品选一个最大的或者最小的就完事了，和上一个状态没有关系。

动态规划思路：dp[j]是由dp[j-weight[i]]推导出来的，然后取max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。

动态规划的解题步骤

一共有五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

要先确定递推公式，然后在考虑初始化，因为一些情况是递推公式决定了dp数组如何初始化。

动态规划应该如何debug

写动规题目，代码出问题很正常！

找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！

一些同学对于dp的学习是黑盒的状态，就是不清楚dp数组的含义，不懂为什么这么初始化，递推公式背下来了，遍历顺序靠习惯就是这么写的，然后一鼓作气写出代码，如果代码能通过万事大吉，通过不了的话就凭感觉改一改。这是一个很不好的习惯！

做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。

然后再写代码，如果代码没通过就打印dp数组，看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。

如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题。

如果和自己预先模拟推导的不一样，那么就是代码实现细节有问题。

这样才是一个完整的思考过程，而不是一旦代码出问题，就毫无头绪的东改改西改改，最后过不了，或者说是稀里糊涂的过了。

可以自己先思考这三个问题：

这道题目我举例推导状态转移公式了么？
我打印dp数组的日志了么？
打印出来了dp数组和我想的一样么？

509. 斐波那契数

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

按照动态规划5部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
确定递推公式：题目中已经给出，dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
dp数组如何初始化：题目中把如何初始化也直接给我们了：dp[0] = 0;dp[1] = 1;
确定遍历顺序：dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
举例推导dp数组：0 1 1 2 3 5 当n=5

class Solution {        public int fib(int n) {if(n<2) return n;int[] dp= new int[n+1];dp[0]=0;dp[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n];}
}

70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶
2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶

本题爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。

那么第一层楼梯再跨两步就到第三层，第二层楼梯再跨一步就到第三层。

确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i]：爬到第i层有dp[i]种方法
确定递推公式：上i-1层时有dp[i-1]个方法，那么一次走一个台阶，上到第i层时有dp[i]种方法，或者上i-2层时有dp[i-2]个方法，那么一次走两个台阶，上到第i层时有dp[i]种方法。所以此时dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
dp数组如何初始化：i=1时，dp[1]=1，i=2时，dp[2]=2
确定遍历顺序：从前向后
举例推导dp数组：i=5时 1 2 3 5 8

class Solution {/**确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i]：爬到第i层有dp[i]种方法确定递推公式：上i-1层时有dp[i-1]个方法，那么一次走一个台阶，上到第i层时有dp[i]种方法，或者上i-2层时有dp[i-2]个方法，那么一次走两个台阶，上到第i层时有dp[i]种方法dp数组如何初始化：i=1时，dp[1]=1，i=2时，dp[2]=2确定遍历顺序：从前向后举例推导dp数组：i=5时 1 2 3 5 8*/public int climbStairs(int n) {if(n<3) return n;int[] dp= new int[n+1];dp[1]=1;dp[2]=2;for(int i=3;i<=n;i++){dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n];}
}

746. 使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：
输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。
示例 2：
输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 

本题要求花费最少，那么有两个要注意的思路：

尽可能多到达花费数少的台阶
尽可能少花钱，也就意味着用更少的次数到达顶层。

从示例2可以看出，每次到达花费为1的台阶花费最少。

并且题设还给出了可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯” 也就是相当于一开始到下标 0或者下标 1 是不花费体力的，从下标 0 下标1 开始跳就要花费体力了。

确定dp数组以及下标的含义：dp[i]：爬到第i层的费用
确定递推公式：和上一题爬楼梯一样，上到i-1层时花费dp[i-1]，那么一次走一个台阶，上到第i层时需要花费dp[i]=dp[i-1]+cost[i-1]，或者上i-2层时花费dp[i-2]个方法，那么一次走两个台阶，上到第i层时需要花费dp[i]=dp[i-2]+cost[i-2]，所以从i-1还是i-2出发，取决于在这两个台阶时，所需花费最少的，因此dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1]，dp[i-2]+cost[i-2])
dp数组如何初始化：dp[0]=0， dp[1]=0;
确定遍历顺序：从前向后
举例推导dp数组：本题需要具体情况具体分析

本题还要注意楼层下标是从0开始的，因此顶楼是第cost.lenth层，所以返回和遍历的时候也要算上这一层

class Solution {public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {int[] dp = new int[cost.length+1];dp[0]=0;dp[1]=0;for(int i=2; i<=cost.length;i++){ //这里注意是要小于等于，因为需要计算的是顶部n，而花费的长度直到n-1dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2]+cost[i-2]);}return dp[cost.length];}
}