算法之康托展开式

本文主要是介绍算法之康托展开式，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

康托展开式：

X=an(n-1)!+(an-1)(n-2)!+…+ai(i-1)!+…+a2*1!+a1*0! （解决一些序列问题的算法）*

　　 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。这个公式可能看着让人头大，最好举个例子来说明一下。例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以

X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!

     关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？首先，我们知道："A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素。然后，我们要在该元素当前的位置上，拿该元素跟排在该元素后面的元素进行比较，然后找到比他小的元素，比他小的元素有几个，ai就等于几。

    （1）、a4 = "D" 这个元素在数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是占了第一个位置，然后跟它身后的元素进行比较，在其身后有 "B", "A", "C"，这些元素都比它小。所以 a4 = 3。（2）、a3 = "B" 这个元素在数组  ["D", "B", "A", "C"] 中是占了第二个位置。后面比它小的元素只有"A"。所以 a3 = 1。（3）、a2 = "A" 这个元素在数组  ["D", "B", "A", "C"] 中是占了第三个位置。后面没有元素比它小。所以 a2 = 0。（4）、a1 = "C" 这个元素在数组  ["D", "B", "A", "C"] 中是占了第四个位置。"C" 后面没有元素了。所以 a1 = 0。所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5

通过康托逆展开生成全排列

　　如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：

这里写图片描述

知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道（1）、s1[0] 在数组["A", "B", "C", "D"]中比其他3个元素要大，那么这个元素是 "D"。（2）、s1[1] 在数组 ["A", "B", "C", "D"] 中排在第二个位置，后面的两个元素，它要比其中的一个大，比另一个元素小。该元素只能是"B"。（3）、s1[2] 在数组 ["A", "B", "C", "D"] 中排在第三个位置。因为s1[2]是0，所以它要比第四个元素小，他只能是"A"。（4）、s[3] 在数组 ["A", "B", "C", "D"] 中排在第四个位置，末尾位置永远是0，只剩下一个"C"。所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。


#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstdlib>
using namespace std;
class cantor{
public:int n;//字符串的长度string s;int pos;//字符串在全排列中的字典位置，从0开始vector<int>num;//所有的字符cantor(string s):s(s){n=s.size();}cantor(int n,int pos):n(n),pos(pos){int i;for(i=0;i<n;i++)num.push_back(i);}int fac(int);void encode();void decode();};
int cantor::fac(int num){if(num==0) return 1;else return num*fac(num-1);
}
void cantor::encode(){int i,j,count;vector<int>vec(n);for(i=0;i<n;i++){count=0;for(j=i;j<n;j++)if(s[i]>s[j]) count++;  vec[n-i-1]=count;}pos=0;for(i=0;i<s.size();i++)pos+=vec[i]*fac(i); 
}
void cantor::decode(){int i;div_t divresult;for(i=n-1;i>=0;i--){divresult=div(pos,fac(i));求余数与除数s.push_back(num[divresult.quot]+'0');num.erase(num.begin()+divresult.quot);pos=divresult.rem;}
}
int main(){cantor test(4,2);test.decode();cout<<test.s<<endl;
}