算法之卡特兰数

2024-03-02 01:38
文章标签 算法 卡特兰

本文主要是介绍算法之卡特兰数,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

一,问题描述

给定一个以字符串形式表示的入栈序列,请求出一共有多少种可能的出栈顺序?如何输出所有可能的出栈序列?

比如入栈序列为:1 2 3 ,则出栈序列一共有五种,分别如下:1 2 3、1 3 2、2 1 3、2 3 1、3 2 1


二,问题分析

先介绍几个规律:

对于出栈序列中的每一个数字,在它后面的、比它小的所有数字,一定是按递减顺序排列的

比如入栈顺序为:1 2 3 4。

出栈顺序:4 3 2 1是合法的,对于数字 4 而言,比它小的后面的数字是:3 2 1,且这个顺序是递减顺序。同样地,对于数字 3 而言,比它小的后面的数字是: 2 1,且这个顺序是递减的。….

出栈顺序:1 2 3 4 也是合法的,对于数字 1 而言,它后面没有比它更小的数字。同样地,对于数字 2 而言,它后面也没有比它更小的数字。

出栈顺序:3 2 4 1 也是合法的,对于数字 3 而言,它后面比 3 小的数字有: 2 1,这个顺序是递减的;对于数字 2 而言,它后面的比它 小的数字只有 1,也算符合递减顺序;对于数字 4 而言,它后面的比它小的数字也只有1,因此也符合递减顺序。

出栈顺序:

3 1 4 2 是不合法的,因为对于数字 3 而言,在3后面的比3小的数字有:1 2,这个顺序是一个递增的顺序(1-->2)

这里写图片描述

因此,当给定一个序列时,通过这个规律 可以轻松地判断 哪些序列是合法的,哪些序列是非法的。

②给定一个入栈顺序:1 2 3 …. n,一共有多少种合法的出栈顺序?参考:百度百科卡特兰数

答案是 卡特兰数。即一共有:

h(n)=c(2n,n)/(n+1)

种合法的出栈顺序。

如果仅仅只需要求出一共有多少种合法的出栈顺序,其实就是求出组合 C(2n,n)就可以了。而求解C(2n,n),则可以用动态规划来求解,具体可参考: 排列与组合的一些定理


三,代码实现

给定一个入栈顺序,比如 1 2 3 ,如何输出所有可能的出栈顺序?

思路①:先求出入栈顺序的所有排列(即全排列),并将排列保存到一个LinkedList中,然后依次遍历每一个序列,判断该序列是否是合法的序列。

所谓合法的序列,就是满足上面的规律1:

对于出栈序列中的每一个数字,在它后面的、比它小的所有数字,一定是按递减顺序排列的。

关于如何求解一个序列的全排列,可参考:JAVA求解全排列


import java.util.Collections;
import java.util.Iterator;
import java.util.LinkedList;public class AllStackPopOrder {public static LinkedList<String> allPermutation(String str){if(str == null || str.length() == 0)return null;//保存所有的全排列LinkedList<String> listStr = new LinkedList<String>();allPermutation(str.toCharArray(), listStr, 0);//print(listStr);//打印全排列return listStr;}private static void allPermutation(char[] c, LinkedList<String> listStr, int start){if(start == c.length-1)listStr.add(String.valueOf(c));else{for(int i = start; i <= c.length-1; i++){//只有当没有重叠的字符 才交换if(!isSwap(c, start, i)){swap(c, i, start);//相当于: 固定第 i 个字符allPermutation(c, listStr, start+1);//求出这种情形下的所有排列swap(c, start, i);//复位}}}}private static void swap(char[] c, int i, int j){char tmp;tmp = c[i];c[i] = c[j];c[j] = tmp;}private static void print(LinkedList<String> listStr){Collections.sort(listStr);//使字符串按照'字典顺序'输出for (String str : listStr) {System.out.println(str);}System.out.println("size:" + listStr.size());}//[start,end) 中是否有与 c[end] 相同的字符private static boolean isSwap(char[] c, int start, int end){for(int i = start; i < end; i++){if(c[i] == c[end])return true;}return false;}public static LinkedList<String> legalSequence(LinkedList<String> listStr){Iterator<String> it = listStr.iterator();String currentStr;while(it.hasNext())//检查全排列中的每个序列{currentStr = it.next();if(!check(currentStr))it.remove();//删除不符合的出栈规律的序列}return listStr;}//检查出栈序列 str 是否 是合法的出栈 序列private static boolean check(String str){boolean result = true;char[] c = str.toCharArray();char first;//当前数字.int k = 0;//记录 compare 数组中的元素个数char[] compare = new char[str.length()];for(int i = 0; i < c.length; i++){first = c[i];//找出在 first 之后的,并且比 first 小的数字for(int j = i+1; j < c.length; j++){if(c[j] > first)continue;else{compare[k++] = c[j];//将比当前数字小的 所有数字 放在compare数组中}}if(k == 0)continue;else{for(int m = 0; m < k-1; m++)//判断 compare 数组是否是 递减的顺序{if(compare[m] < compare[m+1]){result = false;//不符合递减顺序return result;}}}k=0;}return result;}//hapjin testpublic static void main(String[] args) {String str = "1234";LinkedList<String> listStr = legalSequence(allPermutation(str));print(listStr);}
}

文章转载自:http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5758083.html

这篇关于算法之卡特兰数的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/764528

相关文章

不懂推荐算法也能设计推荐系统

本文以商业化应用推荐为例,告诉我们不懂推荐算法的产品,也能从产品侧出发, 设计出一款不错的推荐系统。 相信很多新手产品,看到算法二字,多是懵圈的。 什么排序算法、最短路径等都是相对传统的算法(注:传统是指科班出身的产品都会接触过)。但对于推荐算法,多数产品对着网上搜到的资源,都会无从下手。特别当某些推荐算法 和 “AI”扯上关系后,更是加大了理解的难度。 但,不了解推荐算法,就无法做推荐系

康拓展开(hash算法中会用到)

康拓展开是一个全排列到一个自然数的双射(也就是某个全排列与某个自然数一一对应) 公式: X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! 其中,a[i]为整数,并且0<=a[i]<i,1<=i<=n。(a[i]在不同应用中的含义不同); 典型应用: 计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序,也就是说求当前排列是第

hdu4828(卡特兰数+逆元)

这题的前几个数据分别为1,2,5,14,32......................然后确定这是个卡特兰数列 下面来介绍下卡特兰数,它的递推式为f[i+1] = f[i]*(4*n - 6)/n,其中f[2] = f[3] =1;f[4] = 2;f[5] = 14;f[6] = 32.................................. 但是这题的n太大了,所以要用到逆元,

csu 1446 Problem J Modified LCS (扩展欧几里得算法的简单应用)

这是一道扩展欧几里得算法的简单应用题,这题是在湖南多校训练赛中队友ac的一道题,在比赛之后请教了队友,然后自己把它a掉 这也是自己独自做扩展欧几里得算法的题目 题意:把题意转变下就变成了:求d1*x - d2*y = f2 - f1的解,很明显用exgcd来解 下面介绍一下exgcd的一些知识点:求ax + by = c的解 一、首先求ax + by = gcd(a,b)的解 这个

综合安防管理平台LntonAIServer视频监控汇聚抖动检测算法优势

LntonAIServer视频质量诊断功能中的抖动检测是一个专门针对视频稳定性进行分析的功能。抖动通常是指视频帧之间的不必要运动,这种运动可能是由于摄像机的移动、传输中的错误或编解码问题导致的。抖动检测对于确保视频内容的平滑性和观看体验至关重要。 优势 1. 提高图像质量 - 清晰度提升:减少抖动,提高图像的清晰度和细节表现力,使得监控画面更加真实可信。 - 细节增强:在低光条件下,抖

【数据结构】——原来排序算法搞懂这些就行,轻松拿捏

前言:快速排序的实现最重要的是找基准值,下面让我们来了解如何实现找基准值 基准值的注释:在快排的过程中,每一次我们要取一个元素作为枢纽值,以这个数字来将序列划分为两部分。 在此我们采用三数取中法,也就是取左端、中间、右端三个数,然后进行排序,将中间数作为枢纽值。 快速排序实现主框架: //快速排序 void QuickSort(int* arr, int left, int rig

poj 3974 and hdu 3068 最长回文串的O(n)解法(Manacher算法)

求一段字符串中的最长回文串。 因为数据量比较大,用原来的O(n^2)会爆。 小白上的O(n^2)解法代码:TLE啦~ #include<stdio.h>#include<string.h>const int Maxn = 1000000;char s[Maxn];int main(){char e[] = {"END"};while(scanf("%s", s) != EO

秋招最新大模型算法面试,熬夜都要肝完它

💥大家在面试大模型LLM这个板块的时候,不知道面试完会不会复盘、总结,做笔记的习惯,这份大模型算法岗面试八股笔记也帮助不少人拿到过offer ✨对于面试大模型算法工程师会有一定的帮助,都附有完整答案,熬夜也要看完,祝大家一臂之力 这份《大模型算法工程师面试题》已经上传CSDN,还有完整版的大模型 AI 学习资料,朋友们如果需要可以微信扫描下方CSDN官方认证二维码免费领取【保证100%免费

dp算法练习题【8】

不同二叉搜索树 96. 不同的二叉搜索树 给你一个整数 n ,求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种?返回满足题意的二叉搜索树的种数。 示例 1: 输入:n = 3输出:5 示例 2: 输入:n = 1输出:1 class Solution {public int numTrees(int n) {int[] dp = new int

Codeforces Round #240 (Div. 2) E分治算法探究1

Codeforces Round #240 (Div. 2) E  http://codeforces.com/contest/415/problem/E 2^n个数,每次操作将其分成2^q份,对于每一份内部的数进行翻转(逆序),每次操作完后输出操作后新序列的逆序对数。 图一:  划分子问题。 图二: 分而治之,=>  合并 。 图三: 回溯: