形式语言与自动机——第二章 自动机

本文主要是介绍形式语言与自动机——第二章 自动机，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

第二章 目录

【2.1】 有穷自动机（有限自动机）

我们来回顾一下文法与自动机的区别：

• 文法：对语言的有穷说明
• 识别器：有穷的说明无穷语言的一种方法，最简单的识别器就是有穷自动机

文法可以建模，但是文法不能有效地编程实现，因此引出了有穷自动机。

有穷自动机不能定义所有由文法定义的语言，它所能定义的语言是3型文法。

• 第一项：状态集
• 第二项：字母表，可以理解文自动机中的终结符集合
• 第三项：得儿塔，映射关系（要强调的是，如果是德尔塔’，代表输入的是一个字而不是一个字母）
• 第四项：s0起始状态、初态，是S的成员
• 第五项：终止状态集，F是S的子集
  

【2.2】 不确定有穷自动机（NFA）

它的特点是，对于一个状态Si，经过函数变换，它的结果是不确定的，有可能会变到Sj，也有可能变到Sk。



注意DFA和NFA的区别，因为NFA可能到达的终止状态有多个，因此是个集合，只要其中一个能满足终止条件即可

【2.3】 确定的有穷自动机

DFA：M = (S, Σ, δ, q0, F)

由于空字的转移不影响当前状态，因此可以省略上角标

【2.4】 格局

为描述FA的工作状态，可用两个信息表明：

• 当前时刻有限自动机所处的状态q
• 当前时刻等待输入的字符串ω

这两者构成一个瞬间描述，称为格局，用(q, ω)表示。

符号“|-”表示连接两个格局，从第一个格局变为第二个格局。

【2.5】 DFA与NFA等效

NFA简单明了，容易编程，但是很难编程实现特性，因为一旦走错（如上图），可能要进行大量回溯。但是DFA很难编程实现，所以我们希望通过NFA来转换为DFA。

DFA、NFA在没有公共转移时是等效的。

由于DFA是NFA的特例，所以DFA能接受的语言，NFA也一定能接受，相反，NFA接受的语言，则能找到一个等效的DFA接受语言。

**定理：**设L(Mn)是接受的语言，则存在DFA Md接受L(Md)，满足L(Md) = L(Mn)。

【2.6】 有ε转换的不确定有限自动机

前面定义的NFA M，当有空串ε输入时，并不能进行状态转换，而且NFA也不能接受空串，除非NFA的初态也是终态，下面的NFA，在输入空串ε时，也能进行状态转换。

虽然经过之前的学习，我们知道了理论上是不允许出现空串的，但实际中，如果不允许空串的出现，会很难以实现。

引入概念“ε闭包，又写作ε-closure()”

简单来说q状态的ε闭包就是q经过零个、一个或多个空字符串所能达到的下态的集合。

定理：ε-closure({q1, q2}) = ε-closure(q1) + ε-closure(q2)

这里要注意Ia的定义，通俗讲是指经过弧a所能到达所有空字的转移的下态的集合


例：

【2.7】 有ε转换NFA和无ε转换的NFA的等效

其中，“当ε-closure(q0)含F的一个状态”，意思就是说，原自动机是否能识别空字ε。识别就是能不能从初态由ε到达终态。

例子：

【复习】

我们来看底下这张图，老师先讲了无空字转移的FA分为NFA和DFA，他们两者是可以转换的，我们的目的一般是要得到DFA。

但后面又讲到，在实际中是很难不使用空字的，因此我们的解决思路是，先把带空字的NFA转换为不带空字的NFA，然后再转换为DFA，我们今天要讲的就是：将带空字的NFA转换为带空字的DFA（也有可能是将带空字的NFA转换为不带空字转移的DFA，这里是老师画错了还是口误？）。

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【2.8】正规式和正规集

【2.8.1】正规式和正规集

设G为正规式，则L(G)是它可以识别的正规集。

1. 空字、空集是正规式（正规式是一个模型，可以识别正规集，相当于自动机），分别表示的正规集是{空字}，空集。
2. 任意一个字母表的成员α是正规式，表示的正规集是{α}
3. 若A、B是正规式，则A、B的正规运算也是正规式，比如A或B，A连接B，A的闭包，B的闭包等。若A、B是正规式，表示的正规集是L(A)、L(B)，且L(A)、L(B)的集合运算也是正规集。
   
   一些运算
   

【2.8.2】从右线性文法到正规式——联立方程

什么是右线性文法？推导出的式子如果包含非终结符，只能有一个且一定在最右边。
右线性文法RG、正规式R。

【2.9】右线性文法和正规集

我们想要让右线性文法RG、自动机FA、正规式R三者之间相互转换。上一小节中，我们已经讨论了RG如何到R，使用的是联立方程法。

如果我们已知两个右线性文法所识别的对象（语言集），我们希望构造一个新的右线性文法，新右线性文法识别的对象（语言集）是这两个右线性文法识别的对象（语言集）的或。

我们采取先构造、再证明的方法。


如果，一个语言是正规集，那么它一定可以通过上图的方法构造一个闭包为右线性文法。

【2.10】右线性文法与有限自动机

【2.10.1】右线性文法→有限自动机

至此，我们已经知道了，右线性文法和正规集之间的互相转换。现在我们来讨论，右线性语言与有限自动机的关系，它们如何等价转换？因为自动机容易编程实现。

非终结符 - 状态 + {H}，引入吸纳状态，H是新的终态表示，因为文法没有识别态的概念。

q0 = S

为了自动机能识别空字，我们引入“当S → e 包含于 P”。当文法能识别空字，F 要包含S，否则不包含。

反过来看最后两行，如果A接受a映射到B，则原式应该属于P。
如果非终结符A，接收小a，到达新终结态H，则原式应该属于P。

证明：

例1：
B输入a有两种可能。具有不确定性，推导式理应用属于符号，不应用等号，这里简写了。

【2.10.2】确定有限自动机→右线性文法

【2.11】右线性语言的性质

【2.11.1】DFA M的化简

找一个状态数比DFA M少的DFA M1，且满足L(M) = L(M1)，称为对M的化简。

如何化简？

1. 将M的Q，按终止态和非终止态分成两个子集。
2. 将基本划分再不断细分
3. 删去M1中不可达状态，得最小化的DFA
   

【2.11.2】泵浦原理

利用泵浦原理可以证明某个语言不是正规集。可以得出哪些问题不可以用正规集或文法或自动机来建模。

用途：泵引理给出一个语言是正规语言的必要条件。

泵引理：

1. 如果L是Σ上的正规 语言，则存在一个正整数N（与L（句子长度）有关）。
2. 略

【2.11.3】右线性语言的封闭性

之前我们用文法证明了xxxxx的各种运算也是封闭的，接下来就用自动机证明它们是封闭的，而且补集也是封闭的。
连接、或、闭包、补、交、差集。

【2.11.4】有限自动机的可解问题（判定问题）

【2.12】双向和有输出的有限自动机

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1. 双向有限自动机
2. 有输出的FA

有限自动机的类型很多，下面介绍双向有限 自动机和有输出的自动机，因为它们有用。

【2.12.1】双向有限自动机

【2.12.2】有输出的FA

1. 米兰机
   输出与输入有关

2. 摩尔机
   输出只与状态有关

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