高代绿皮第四版课后习题复习题一T7

2024-02-26 20:10

文章标签 第四版复习题习题课后 t7 高代绿皮

本文主要是介绍高代绿皮第四版课后习题复习题一T7，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

原题

求证:n阶行列式

$\left| \begin{matrix} \cos x & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2\cos x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2\cos x & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & {} & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2\cos x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 2\cos x \\ \end{matrix} \right|=\cos{nx}$

解析

思路:

首先将第 $(1,1)$ 元素 $\cos{x}$ 拆分为 $(2\cos{x}-\cos{x})$ ,则根据行列式性质可分为两个新的行列式

再将第一个行列式定义为 $D_{n}$ ,第二个行列式按第一列展开可得 $\cos{x}D_{n-1}$

记原式为 $|A|$ ,则有

$|A|=D_{n}-\cos{x}D_{n-1}$

接着将 $D_{n}$ 按第一列展开可得递推式

$D_{n}=2\cos{x}D_{n-1}-D_{n-2}$

处理二阶递推式的一般方法为特征方程法

故可令

$2\cos{x}=\alpha+\beta\,\,\,,1=\alpha\beta$

则特征方程为

$x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$

易得其两解为

$x_{1}=\alpha\,\,\,,x_{2}=\beta$

接下来再分别讨论两解相同与否的情况即可证得结论

另解:

此题也可利用数学归纳法进行证明,这里不再赘述

参考解题细节：

这篇关于高代绿皮第四版课后习题复习题一T7的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

http://www.chinasem.cn/article/750013。 23002807@qq.com

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