【bzoj3142】【HNOI2013】【数列】【数学】

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Description

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K-1)<N。
小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

Input

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。
输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤109，N≤1018 。

Output

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。【输入输出样例】

Sample Input

7 3 2 997

Sample Output

16
【样例解释】
输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：
{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}， {2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}， {3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}

题解：

对原序列差分。

那么对于一种确定差分,不同的方案在于首元素。

那么我们统计出所有的差分序列的和,用n*m^(k-1)减一下就是答案。

我们可以单独考虑每一个数,它的贡献就是m^(k-2)*m*(m+1)/2;

所以最后答案就是n*m^(k-1)-(k-1)*m^(k-1)*(m+1)/2

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,m,k,p,ans;
long long power(long long a,long long b){long long ans;a%=p;for (ans=1;b;a=a*a%p,b>>=1) if (b&1) ans=ans*a%p;return ans;
}
int main(){scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&p);if (k==1) ans=n%p;else ans=(power(m,k-2)*(n%p*m%p-(m*(m+1)/2)%p*(k-1)%p+p)%p)%p;cout<<ans<<endl;
}

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