机器学习（二）Apriori算法

      最近看了《机器学习实战》中的第11章（使用Apriori算法进行关联分析）和第12章（使用FP-growth算法来高效发现频繁项集）。正如章节标题所示，这两章讲了无监督机器学习方法中的关联分析问题。关联分析可以用于回答”哪些商品经常被同时购买？”之类的问题。书中举了一些关联分析的例子:

1. 通过查看哪些商品经常在一起购买，可以帮助商店了解用户的购买行为。这种从数据海洋中抽取的知识可以用于商品定价、市场促销、存活管理等环节。

2. 在美国国会投票记录中发现关联规则。在一个国会投票记录的数据集中发现议案投票的相关性，（原文：这里只是出于娱乐的目的，不过也可以……）使用分析结果来为政治竞选活动服务，或者预测选举官员会如何投票。

3. 发现毒蘑菇的相似特征。这里只对包含某个特定元素（有毒性）的项集感兴趣，从中寻找毒蘑菇中的一些公共特征，利用这些特征来避免吃到那些有毒蘑菇。

4. 在Twitter源中发现一些共现词。对于给定搜索词，发现推文中频繁出现的单词集合。

5. 从新闻网站点击流中挖掘新闻流行趋势，挖掘哪些新闻广泛被用户浏览到。

6. 搜索引擎推荐，在用户输入查询词时推荐同相关的查询词项。

      从大规模数据集中寻找物品间的隐含关系被称作关联分析（association analysis）或者关联规则学习（association rule learning）。这里的主要问题在于，寻找物品的不同组合是一项十分耗时的任务，所需的计算代价很高，蛮力搜索方法并不能解决这个问题，所以需要用更智能的方法在合理的时间范围内找到频繁项集。本文分别介绍如何使用Apriori算法来解决上述问题。

1. 关联分析

       关联分析是在大规模数据集中寻找有趣关系的任务。这些关系可以有两种形式：

• 频繁项集
• 关联规则

频繁项集（frequent item sets）是经常出现在一块儿的物品的集合，关联规则（association rules）暗示两种物品之间可能存在很强的关系。

下面用一个例子来说明这两种概念：图1给出了某个杂货店的交易清单。

图1 某杂货店交易清单

      频繁项集是指那些经常出现在一起的商品集合，图中的集合{葡萄酒,尿布,豆奶}就是频繁项集的一个例子。从这个数据集中也可以找到诸如尿布->葡萄酒的关联规则，即如果有人买了尿布，那么他很可能也会买葡萄酒。

      我们用支持度和可信度来度量这些有趣的关系。一个项集的支持度（support）被定义数据集中包含该项集的记录所占的比例。如上图中，{豆奶}的支持度为4/5，{豆奶,尿布}的支持度为3/5。支持度是针对项集来说的，因此可以定义一个最小支持度，而只保留满足最小值尺度的项集。

      可信度或置信度（confidence）是针对关联规则来定义的。规则{尿布}➞{啤酒}的可信度被定义为”支持度({尿布,啤酒})/支持度({尿布})”，由于{尿布,啤酒}的支持度为3/5，尿布的支持度为4/5，所以”尿布➞啤酒”的可信度为3/4。这意味着对于包含”尿布”的所有记录，我们的规则对其中75%的记录都适用。

2. Apriori原理

       假设我们有一家经营着4种商品（商品0，商品1，商品2和商品3）的杂货店，2图显示了所有商品之间所有的可能组合：

图2 集合{0,1,2,3,4}中所有可能的项集组合

      对于单个项集的支持度，我们可以通过遍历每条记录并检查该记录是否包含该项集来计算。对于包含N中物品的数据集共有2N−12N−1种项集组合，重复上述计算过程是不现实的。

      研究人员发现一种所谓的Apriori原理，可以帮助我们减少计算量。Apriori原理是说如果某个项集是频繁的，那么它的所有子集也是频繁的。更常用的是它的逆否命题，即如果一个项集是非频繁的，那么它的所有超集也是非频繁的。

      在图3中，已知阴影项集{2,3}是非频繁的。利用这个知识，我们就知道项集{0,2,3}，{1,2,3}以及{0,1,2,3}也是非频繁的。也就是说，一旦计算出了{2,3}的支持度，知道它是非频繁的后，就可以紧接着排除{0,2,3}、{1,2,3}和{0,1,2,3}。

图3 图中给出了所有可能的项集，其中非频繁项集用灰色表示。

3. 使用Apriori算法来发现频繁集

      前面提到，关联分析的目标包括两项：发现频繁项集和发现关联规则。首先需要找到频繁项集，然后才能获得关联规则（正如前文所讲，计算关联规则的可信度需要用到频繁项集的支持度）。

      Apriori算法是发现频繁项集的一种方法。Apriori算法的两个输入参数分别是最小支持度和数据集。该算法首先会生成所有单个元素的项集列表。接着扫描数据集来查看哪些项集满足最小支持度要求，那些不满足最小支持度的集合会被去掉。然后，对剩下来的集合进行组合以生成包含两个元素的项集。接下来，再重新扫描交易记录，去掉不满足最小支持度的项集。该过程重复进行直到所有项集都被去掉。

3.1 生成候选项集

数据集扫描的伪代码大致如下：

对数据集中的每条交易记录tran：
对每个候选项集can：检查can是否是tran的子集如果是，则增加can的计数
对每个候选项集：
如果其支持度不低于最小值，则保留该项集
返回所有频繁项集列表

下面看一下实际代码，建立一个apriori.py文件并加入一下代码：

# coding=utf-8
from numpy import *def loadDataSet():return [[1, 3, 4], [2, 3, 5], [1, 2, 3, 5], [2, 5]]

其中numpy为程序中需要用到的Python库:

def createC1(dataSet):C1 = []for transaction in dataSet:for item in transaction:if not [item] in C1:C1.append([item])C1.sort()return map(frozenset, C1)

其中C1即为元素个数为1的项集（非频繁项集，因为还没有同最小支持度比较）。map(frozenset, C1)的语义是将C1由Python列表转换为不变集合（frozenset，Python中的数据结构）。

def scanD(D, Ck, minSupport):ssCnt = {}for tid in D:for can in Ck:if can.issubset(tid):ssCnt[can] = ssCnt.get(can, 0) + 1numItems = float(len(D))retList = []supportData = {}for key in ssCnt:support = ssCnt[key] / numItemsif support >= minSupport:retList.insert(0, key)supportData[key] = supportreturn retList, supportData

其中D为全部数据集，Ck为大小为k（包含k个元素）的候选项集，minSupport为设定的最小支持度。返回值中retList为在Ck中找出的频繁项集（支持度大于minSupport的），supportData记录各频繁项集的支持度。

retList.insert(0, key)一行将频繁项集插入返回列表的首部。

3.2 完整的Apriori算法

当集合中项的个数大于0时：构建一个由k个项组成的候选项集的列表（k从1开始）计算候选项集的支持度，删除非频繁项集构建由k+1项组成的候选项集的列表

程序代码如下：

def aprioriGen(Lk, k):retList = []lenLk = len(Lk)for i in range(lenLk):for j in range(i + 1, lenLk):# 前k-2项相同时，将两个集合合并L1 = list(Lk[i])[:k-2]; L2 = list(Lk[j])[:k-2]L1.sort(); L2.sort()if L1 == L2:retList.append(Lk[i] | Lk[j])return retList

该函数通过频繁项集列表 $L_k$ 和项集个数k生成候选项集$C_{k+1}$。

      注意其生成的过程中，首选对每个项集按元素排序，然后每次比较两个项集，只有在前k-1项相同时才将这两项合并。这样做是因为函数并非要两两合并各个集合，那样生成的集合并非都是k+1项的。在限制项数为k+1的前提下，只有在前k-1项相同、最后一项不相同的情况下合并才为所需要的新候选项集。

由于Python中使用下标0表示第一个元素，因此代码中的[:k-2]的实际作用为取列表的前k-1个元素。

def apriori(dataSet, minSupport=0.5):C1 = createC1(dataSet)D = map(set, dataSet)L1, supportData = scanD(D, C1, minSupport)L = [L1]k = 2while (len(L[k-2]) > 0):Ck = aprioriGen(L[k-2], k)Lk, supK = scanD(D, Ck, minSupport)supportData.update(supK)L.append(Lk)k += 1return L, supportData

       该函数为Apriori算法的主函数，按照前述伪代码的逻辑执行。Ck表示项数为k的候选项集，最初的C1通过createC1()函数生成。Lk表示项数为k的频繁项集，supK为其支持度，Lk和supK由scanD()函数通过Ck计算而来。

       函数返回的L和supportData为所有的频繁项集及其支持度，因此在每次迭代中都要将所求得的Lk和supK添加到L和supportData中。

代码测试（在Python提示符下输入）：

>>> import apriori
>>> dataSet = apriori.loadDataSet()
>>> dataSet
>>> C1 = apriori.createC1(dataSet)
>>> D = map(set, dataSet)
>>> D
>>> L1, suppDat = apriori.scanD(D, C1, 0.5)
>>> L1
>>> L, suppData = apriori.apriori(dataSet)
>>> L
>>> L, suppData = apriori.apriori(dataSet, minSupport=0.7)
>>> L

L返回的值为frozenset列表的形式：

[[frozenset([1]), frozenset([3]), frozenset([2]), frozenset([5])],
[frozenset([1, 3]), frozenset([2, 5]), frozenset([2, 3]), frozenset([3, 5])],
[frozenset([2, 3, 5])], []]

即L[0]为项数为1的频繁项集：

[frozenset([1]), frozenset([3]), frozenset([2]), frozenset([5])]

L[1]为项数为2的频繁项集：

[frozenset([1, 3]), frozenset([2, 5]), frozenset([2, 3]), frozenset([3, 5])]

依此类推。

suppData为一个字典，它包含项集的支持度。

3.3 从频繁集中挖掘相关规则

      解决了频繁项集问题，下一步就可以解决相关规则问题。

      要找到关联规则，我们首先从一个频繁项集开始。从杂货店的例子可以得到，如果有一个频繁项集{豆奶, 莴苣}，那么就可能有一条关联规则“豆奶➞莴苣”。这意味着如果有人购买了豆奶，那么在统计上他会购买莴苣的概率较大。注意这一条反过来并不总是成立，也就是说，可信度(“豆奶➞莴苣”)并不等于可信度(“莴苣➞豆奶”)。

      前文也提到过，一条规则P➞H的可信度定义为support(P | H)/support(P)，其中“|”表示P和H的并集。可见可信度的计算是基于项集的支持度的。

      图4给出了从项集{0,1,2,3}产生的所有关联规则，其中阴影区域给出的是低可信度的规则。可以发现如果{0,1,2}➞{3}是一条低可信度规则，那么所有其他以3作为后件（箭头右部包含3）的规则均为低可信度的。

图4 频繁项集{0,1,2,3}的关联规则网格示意图

      可以观察到，如果某条规则并不满足最小可信度要求，那么该规则的所有子集也不会满足最小可信度要求。以图4为例，假设规则{0,1,2} ➞ {3}并不满足最小可信度要求，那么就知道任何左部为{0,1,2}子集的规则也不会满足最小可信度要求。可以利用关联规则的上述性质属性来减少需要测试的规则数目，类似于Apriori算法求解频繁项集。

4. 小结

      关联分析是用于发现大数据集中元素间有趣关系的一个工具集，可以采用两种方式来量化这些有趣的关系。第一种方式是使用频繁项集，它会给出经常在一起出现的元素项。第二种方式是关联规则，每条关联规则意味着元素项之间的“如果……那么”关系。

      发现元素项间不同的组合是个十分耗时的任务，不可避免需要大量昂贵的计算资源，这就需要一些更智能的方法在合理的时间范围内找到频繁项集。能够实现这一目标的一个方法是Apriori算法，它使用Apriori原理来减少在数据库上进行检查的集合的数目。Apriori原理是说如果一个元素项是不频繁的，那么那些包含该元素的超集也是不频繁的。Apriori算法从单元素项集开始，通过组合满足最小支持度要求的项集来形成更大的集合。支持度用来度量一个集合在原始数据中出现的频率。

      关联分析可以用在许多不同物品上。商店中的商品以及网站的访问页面是其中比较常见的例子。

      每次增加频繁项集的大小，Apriori算法都会重新扫描整个数据集。当数据集很大时，这会显著降低频繁项集发现的速度。下面会介绍FP-growth算法，和Apriori算法相比，该算法只需要对数据库进行两次遍历，能够显著加快发现频繁项集的速度。