HDOJ_1480 钥匙计数之二 解题报告(解密版)

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Problem Description

一把钥匙有N个槽，2<N<26槽深为1，2，3，4,5,6。每钥匙至少有3个不同的深度且相连的槽其深度之差不得为5。求这样的钥匙的总数。

Input
本题无输入

Output
对2<N<26，输出满足要求的钥匙的总数。

Sample Output
N=3: 104
N=4: 904
N=5: 5880
。
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N=25: 8310566473196300280


解题思路：

设lock[i]表示：有 i个槽的钥匙的个数
设one[i]表示：有 i个槽且左边第一个槽深度为1的钥匙的个数
设two[i]表示：有 i个槽且左边第一个槽深度为2的钥匙的个数
..
..
设six[i]表示：有 i个槽且左边第一个槽深度为6的钥匙的个数

则显然：lock[i]=one[i]+two[i]+ three[i]+four[i]+five[i]+six[i]

由于易知：one[i]=six[i],two[i]=three[i]=four[i]=five[i]
则可以得到：lock[i]=one[i]*2+two[i]*4

其中：
one[i]=one[i-1]+two[i-1]+three[i-1]+four[i-1]+five[i-1]+a[i];
    =one[i-1]+two[i-1]*4 +a[i]
   
two[i]=one[i-1]*2+two[i-1]*4 +b[i]

其中，a[i] 和b[i]的含义分别是：
a[i]表示“有 i个槽且左边第一个槽深度为1，同时这种钥匙在除掉第一个槽后不再是钥匙”的钥匙的个数。
例如 123,124,125,134,135,145,126,136,146,156 就属于这种情况。

b[i]表示“有 i个槽且左边第一个槽深度为2，同时这种钥匙在除掉第一个槽后不再是钥匙” 的钥匙的个数。

分析到这里，可以知道，关键的是求a[i]和b[i]，我们可以得到如下表达式：
a[i]=(2^(i-1)-2)*6+(2^(i-2)-1)*4
b[i]=(2^(i-1)-2)*9

其中，a[i] 的各部分的含义如下：
(2^(i-1)-2)*6：
当去掉第一位，后面i-1位只有 (2,3)或者 (2,4) 或者(2,5) 或者(3,4) 或者(3,5) 或者(4,5)两种数字的时候，显然是不合法的钥匙（不满足至少有3个不同的深度），加上第一位的1则显然是一个合格的钥匙。所以后面的数字可以为一个组合中两个数字的任意一个，根据乘法原理i-1位一共有2^(i-1)种组合，当然还需要去掉两种特殊情况，就是后面i-1位完全相同的情况。满足这种条件的一共有上面六种组合，所以得到(2^(i-1)-2)*6。
(2^(i-2)-1)*4：
当去掉第一位，后面i-1位只有 (2,6)或者 (3,6) 或者(4,6) 或者(5，6)两种数字的时候，显然是不合法的钥匙（不满足至少有3个不同的深度），加上第一位的1则“可能”是一个合格的钥匙。因为要注意满足“相连的槽其深度之差不得为5”这个条件，所以，紧跟着1的绝对不能是6，这样，相对于上面的分析，后面i-2位可以是每组中的任意一个，所以有2^(i-2)，还要减去1是因为同样要排除后面全部是和第2位一样的数字这样的情况。满足这种条件的一共有上面的四种组合，所以得到(2^(i-2)-1)*4。

b[i] 的含义如下：
(2^(i-1)-2)*9：
当去掉第一位，后面i-1位只有 (1,3)或者 (1,4) 或者(1,5) 或者(3,4) 或者(3,5) 或者(3,6) 或者(4,5) 或者(4,6) 或者(5,6) 两种数字的时候，显然是不合法的钥匙（不满足至少有3个不同的深度），加上第一位的1则显然是一个合格的钥匙。所以后面的数字可以为一个组合中两个数字的任意一个，根据乘法原理i-1位一共有2^(i-1)种组合，当然还需要去掉两种特殊情况，就是后面i-1位完全相同的情况。满足这种条件的一共有上面9种组合，所以得到(2^(i-1)-2)*9。

目前为止，我们可以求出所有的a[i]和b[i]，而且知道了递推关系，只要再做一点简单的工作就可以了，那就是还需要初始值，当然，很容易枚举出最简单的情况
one[3]=16;
two[3]=18;

这样，整个问题就解决了。
特别说明：
这种递推的题目，就是从f(i-1) 加一个元素，然后枚举出所有可能的情况，推导到f(i),当然这个题目有点麻烦，但是套路是一样的，大家也可以参考一下以前的special number课件,里面对于hdoj_1133 Buy the Ticket这个题目的分析，里面的思路和这个完全一样。

附：

完全输出是：
N=3: 104
N=4: 904
N=5: 5880
N=6: 35080
N=7: 203224
N=8: 1165224
N=9: 6656760
N=10: 37980360
N=11: 216600344
N=12: 1235066344
N=13: 7042019640
N=14: 40150936840
N=15: 228923909464
N=16: 1305225588264
N=17: 7441828166520
N=18: 42430052360520
N=19: 241917592818584
N=20: 1379308210234984
N=21: 7864211495849400
N=22: 44838290466987400
N=23: 255648298611935704
N=24: 1457594655514830504
N=25: 8310566473196300280