元宵佳节消费者惨遭商家“混合策略”收割

今天无意中看到一个文章

沪45家超市汤圆大比价！最大价差15.05元。

湾仔码头迷你香糯汤圆组合装（360克/袋），在华联吉买盛超市临汾店售价为29.9元，在家乐福超市曲阳店售价为14.85元，差价最大，达15.05元。

湾仔码头鲜肉汤圆（538克/袋），在欧尚超市石化店售价为30元，在欧尚超市闵行店售价为15.9元，差价达14.1元。

龙凤黑芝麻汤圆（518克/袋）在沃尔玛超市上南店、甘泉店等售价为22.8元，在农工商超市115店售价为10.5元，差价达12.3元。

海霸王甲天下猪肉汤圆（600克/袋）在家乐福超市中山公园店售价为21.9元，在家乐福超市曲阳店售价为9.6元，差价达12.3元。

文章详细给出了上海辖区很多超市的详细价格图，有兴趣的可以自行查阅。

看完不由震惊，小小的汤圆居然都有两倍差价！谁造成了这种状况？是商家的无良，还是民众的不差钱？

仔细一想不难发现，这是商家保证利润的手段。柴米油盐方便面卫生纸这种，由于群众需求大，经常买记得住价格，造成价格透明，利润薄。超市必须把这类商品价格定低一点，给群众“此超市物美价廉”的印象。

而民众偶尔才购买的，随机购买的物品，记不住价格，也不会刻意去比较，就有很大的定价空间。所以可以看到超市整体价格变来变去，今天这个促销，明天那个促销的。

如果你喜欢在京东网购，也不难发现这点。京东上，一个物品几个月内波动50%很正常。所以网购时可以翻翻评论，上面有人会说当时购买的价格。不急需的物品可以加购物车，没几天就收到京东推送“你购物车里的物品降价xxx元”。

这种现象是因为理性消费者的存在和商家之间的竞争决定的。买一个商品，消费者想花最少的钱，商家想赚更多的钱。但消费者有选择权，商家之间不可避免产生竞争。让我们来为商家建立一个简单的数学模型吧！

博弈论的三个要素：玩家（player）集合，策略（action，strategy）集合，报酬（payoff）函数。建立一个简单的模型。

1. 博弈者集合：只考虑两个商家A和B。

2. 策略集合：考虑出售一个商品，行动集合就是商家对商品的定价。简单起见考虑只有2种举措S_1:利润4元（售价为成本+4）；S_2:利润6元（售价为成本+6）。

3. 报酬集合：商家A和B分别可能选择S_1和S_2，一共就是4种可能的组合，如下图所示（A和B都是S1，A和B都是S2，A是S1 B是S2，A是S2 B是S1）。

   其中列表示商家A的举措，行表示商家B的。每个表格两个数据，第一个，第二个分别表示商家A、B的payoff。当两个商家都选择相同举措时，顾客有50%的几率选择各家，所以都选择S_1时，payoff就是利润乘以50%。

不难看出，不存在一个纯纳什均衡（pure Nash Equilibrium）。就是不存在某个纯策略是纳什均衡的。所谓纳什均衡描述了一种状态：当其他玩家都选择纳什均衡的策略时，没有一个玩家有动机去改变其策略（来增加自己的payoff）。这里（S_2，S_2）不是一个纳什均衡，因为此时其中一个商家可以选择S_1来使得自己的payoff增大。

怎么办？如何才能获得更大的payoff?

混合策略（mixed strategies）来帮忙！根据payoff表格的对称性，直觉告诉你商家A和B最好用50%的几率来选择S_1和S_2。这样得到的payoff期望为(2+4+0+3)/4=2.25。

难怪商家价格变来变去，原来是进行了“混合策略”啊！混合策略既可以是同一种商品不同时间卖不同的价格，也可以是同一时间不同商品利润率的不同。当然实际模型要复杂的多，这里只是借这个机会，来简单介绍一下博弈论的思想。

总结：博弈论作为一个数学的分支，在经济学中有广泛的应用。其模型也被用于其他学科，比如在通信领域，中心化的网络通过求最优解（凸优化）来优化，去中心的网络则通过博弈论建模来求网络的均衡状态，或通过设计网络的payoff来让纳什均衡就是最优解。人工智能里的生成对抗网络（GAN）也是用了博弈论思想设计的一种机制。

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