2024牛客寒假算法基础集训营2

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C Tokitsukaze and Min-Max XOR

题目大意

给定一个数组 $a$
从 $a$ 任取数构成序列 $b$
序列 $b$ 满足 $b_i=min\ b,b_j=max\ b,b_i\ xor\ b_j \leq k$ ，（可以只取一个数）
问能构造出多少个 $b$
$mod=1e9+7$

解题思路

定 $max$ 找 $min$
双枚举时间复杂度到 $O(n^2)$ ，考虑利用 $01Trie$ 加速统计 $b_i \ xor\ b_j< k$ 的方案
$01Trie$ ，即将数字按二进制位拆分挂在树上
对于一个数，它在树上经过的点，均加上它对答案的贡献
所以树上的某一点存的信息为，以这个点的数位为分界，在它之前（包括它）均为某固定值，而在它后均为任意值的数对答案的贡献
若当前值为 $a_j$ ，令其为 $max$ ，则小于 $a_j$ 的有 $j-1$ 个，不考虑限制的话，共有 $2^{j-1}$ 种选取 $min$ 的方式
若选取了 $a_i$ 作为 $min$ ，则 $1\rightarrow i$ 均确定了是否选取
所以 $min=a_i,max=a_j$ ，方案数为 $2^{j-1}/2^i$
若在 $01Trie$ 上，当前为第 $t$ 位，则前 $t-1$ 位均与 $a_j\ xor\ k$ 对应数位相同
若 $k$ 的第 $t$ 位为 $1$ ，且 $01Trie$ 存在着与 $a_j$ 的第t位相同的点
则 $a_j$ 与该点往下的所有值异或后，第 $t$ 位均为 $0$
答案加上该点值，即 $ans+=\sum_{i} Val(a_i),a_i\ xor\ a_j< k$
不必在从该点往下走挨个统计，实现了加速
若能在 $01Trie$ 上走到最后，则存在 $a_i\ xor\ a_j=k$ ，答案加上该点值
最后处理完了 $a_j$ ，在将其加入 $01Trie$
由于 $b$ 数组长度可以为 $1$ ，所以初始 $ans=n$
最终复杂度为 $O(nlogn)$
注意 $Trie$ 上为 $31\rightarrow 0$


import java.io.*;
import java.math.BigInteger;
import java.util.Arrays;
import java.util.BitSet;
import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;
import java.util.Iterator;
import java.util.LinkedList;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Queue;
import java.util.Random;
import java.util.StringTokenizer;
import java.util.Vector;public class Main{static long md=(long)1e9+7L;static long qm(long a,long b) {long res=1;while(b>0) {if((b&1)==1)res=(res*a)%md;a=a*a%md;b>>=1;}return res;}staticclass Trie{long[] cnt;//一个数分成32位，共32层，最后一层最多为nint[][] tr;//01trieint t;public Trie(int n) {cnt=new long[n*32];tr=new int[n*32][2];t=0;}void insert(int x,long y) {int p=0;for (int i = 31; i >= 0; i--) {int j=(x>>i)&1;if(tr[p][j]==0) {t++;tr[p][j]=t;}p=tr[p][j];cnt[p]=(cnt[p]+y)%md;//在沿途放上，便于统计小于k的情况}}long query(int x,int k) {long res=0;int p=0;for (int i = 31; i >= 0; i--) {int xt=(x>>i)&1;int kt=(k>>i)&1;if(kt==1&&tr[p][xt]!=0) {res=(res+cnt[tr[p][xt]])%md;//统计i^j<k}if(tr[p][xt^kt]==0) {return res;//不能满足前t-1位，i^j=k}p=tr[p][xt^kt];}res=(res+cnt[p])%md;//i^j=k的情况return res;}}public static void main(String[] args) throws IOException{AReader input=new AReader();PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));int T=input.nextInt();while(T>0) {int n=input.nextInt();int k=input.nextInt();int[] a=new int[n+1];for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=input.nextInt();Arrays.sort(a,1,n+1);Trie Tp=new Trie(n+1);long ans=n;//min=i,max=j，i=j的情况for(int i=1;i<=n;++i) {//此时trie上的数均小于a[i]int x=a[i];ans=(ans+Tp.query(x, k)*qm(2, i-1)%md)%md;long inv=qm(qm(2L, i), md-2);Tp.insert(x, inv);}out.println(ans);T--;}out.flush();out.close();}staticclass AReader{BufferedReader bf;StringTokenizer st;BufferedWriter bw;public AReader(){bf=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));st=new StringTokenizer("");bw=new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));}public String nextLine() throws IOException{return bf.readLine();}public String next() throws IOException{while(!st.hasMoreTokens()){st=new StringTokenizer(bf.readLine());}return st.nextToken();}public char nextChar() throws IOException{//确定下一个token只有一个字符的时候再用return next().charAt(0);}public int nextInt() throws IOException{return Integer.parseInt(next());}public long nextLong() throws IOException{return Long.parseLong(next());}public double nextDouble() throws IOException{return Double.parseDouble(next());}public float nextFloat() throws IOException{return Float.parseFloat(next());}public byte nextByte() throws IOException{return Byte.parseByte(next());}public short nextShort() throws IOException{return Short.parseShort(next());}public BigInteger nextBigInteger() throws IOException{return new BigInteger(next());}public void println() throws IOException {bw.newLine();}public void println(int[] arr) throws IOException{for (int value : arr) {bw.write(value + " ");}println();}public void println(int l, int r, int[] arr) throws IOException{for (int i = l; i <= r; i ++) {bw.write(arr[i] + " ");}println();}public void println(int a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));bw.newLine();}public void print(int a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));}public void println(String a) throws IOException{bw.write(a);bw.newLine();}public void print(String a) throws IOException{bw.write(a);}public void println(long a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));bw.newLine();}public void print(long a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));}public void println(double a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));bw.newLine();}public void print(double a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));}public void print(char a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));}public void println(char a) throws IOException{bw.write(String.valueOf(a));bw.newLine();}}
}

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