本文主要是介绍高中数学习题解，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
文章目录
- 一、数列
- 二、向量
在高中数学学习中，通过分类习题训练，如数列问题、向量运算、函数性质探究等专题练习，有助于学生系统性地掌握各类知识点，提升分析和解决实际数学问题的能力，并培养从不同角度和层次思考问题的习惯，以达到深度理解和灵活应用的目标。
一、数列
习题1、已知等差数列{ a n a_n an}中， a 2 = 6 a_2=6 a2=6， a 5 = 15 a_5=15 a5=15，若 b n = a 2 n b_n=a_{2n} bn=a2n，则数列{ b n b_n bn}前5项和等于____。
1、解题思路
- 首先，根据等差数列中任意两项的关系求得公差 d d d，利用给定的 a 2 a_2 a2 和 a 5 a_5 a5 计算得到 d = 3 d=3 d=3。接着，用已知的 a 2 a_2 a2 和公差 d d d 求出首项 a 1 a_1 a1 为3，从而确定了数列 { a n a_n an} 的通项公式 a n = 3 n a_n = 3n an=3n。由于题目要求新数列 { b n b_n bn} 的前5项和，而 b n = a 2 n b_n = a_{2n} bn=a2n，所以将 a n a_n an 的表达式代入得到 b n = 6 n b_n = 6n bn=6n。最后，按照 { b n b_n bn} 的通项公式计算其前5项之和，即累加 b 1 b_1 b1 至 b 5 b_5 b5 的值，得出结果为90。
2、解题步骤
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求等差数列 { a n a_n an} 的公差 d
由等差数列的性质，公差 d = a n + 1 − a n n + 1 − n = a 5 − a 2 5 − 2 = 15 − 6 3 = 3 d =\displaystyle \frac{a_{n+1} - a_n}{n+1 - n} = \frac{a_5 - a_2}{5 - 2} = \frac{15 - 6}{3} = 3 d=n+1−nan+1−an=5−2a5−a2=315−6=3。 -
求等差数列 { a n a_n an} 的首项 a1
将已知的 a 2 = 6 a_2=6 a2=6 和算出的 d = 3 d=3 d=3 代入通项公式 a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_n = a_1 + (n-1)d an=a1+(n−1)d 中，得到 6 = a 1 + ( 2 − 1 ) × 3 6 = a_1 + (2-1) \times 3 6=a1+(2−1)×3，解得 a 1 = 3 a_1 = 3 a1=3。 -
写出数列 { a n a_n an} 的通项公式
a n = a 1 + ( n − 1 ) d = 3 + 3 ( n − 1 ) = 3 n a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + 3(n-1) = 3n an=a1+(n−1)d=3+3(n−1)=3n。 -
定义新数列 { b n b_n bn} 并求其通项公式
已知 b n = a 2 n b_n = a_{2n} bn=a2n，所以将 a n = 3 n a_n = 3n an=3n 代入得到 b n = 3 × 2 n = 6 n b_n = 3 \times 2n = 6n bn=3×2n=6n。 -
计算数列 { b n b_n bn} 前5项和
计算前5项和 S b S_b Sb： S b = b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 = 6 ( 1 ) + 6 ( 2 ) + 6 ( 3 ) + 6 ( 4 ) + 6 ( 5 ) S_b = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 6(1) + 6(2) + 6(3) + 6(4) + 6(5) Sb=b1+b2+b3+b4+b5=6(1)+6(2)+6(3)+6(4)+6(5)。 -
具体求和
S b = 6 × ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) = 6 × 15 = 90 S_b = 6 \times (1+2+3+4+5) = 6 \times 15 = 90 Sb=6×(1+2+3+4+5)=6×15=90。
- 综上所述，数列 { b n b_n bn} 的前5项和等于 90。
二、向量
习题1、已知向量 a ⃗ = ( 1 , 2 m ) \vec a=(1,2m) a=(1,2m)， b ⃗ = ( 3 , − 2 ) \vec b=(3,-2) b=(3,−2)且 ( a ⃗ + b ⃗ ) ∥ b ⃗ (\vec a + \vec b)\parallel \vec b (a+b)∥b，则m=___。
1、解题思路
- 题目给出两个向量 a ⃗ = ( 1 , 2 m ) \vec a=(1,2m) a=(1,2m) 和 b ⃗ = ( 3 , − 2 ) \vec b=(3,-2) b=(3,−2)，并且说明 ( a ⃗ + b ⃗ ) (\vec a + \vec b) (a+b) 与 b ⃗ \vec b b 平行。两向量平行的条件是它们的对应分量成比例，即若 a ⃗ + b ⃗ = ( 1 + 3 , 2 m − 2 ) = ( 4 , 2 m − 2 ) \vec a+\vec b = (1+3, 2m-2) = (4, 2m-2) a+b=(1+3,2m−2)=(4,2m−2) 与 b ⃗ \vec b b 平行，则有 4 3 = 2 m − 2 − 2 \displaystyle\frac{4}{3} = \frac{2m - 2}{-2} 34=−22m−2，通过这个比例关系可以解出 m m m 的值。计算这个比例并求解 m m m即可得到答案。
2、解题步骤
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计算向量 a ⃗ + b ⃗ \vec a + \vec b a+b
由已知， a ⃗ = ( 1 , 2 m ) \vec a = (1, 2m) a=(1,2m) 和 b ⃗ = ( 3 , − 2 ) \vec b = (3, -2) b=(3,−2)。两个向量相加得到：
a ⃗ + b ⃗ = ( 1 , 2 m ) + ( 3 , − 2 ) = ( 1 + 3 , 2 m − 2 ) = ( 4 , 2 m − 2 ) \vec a + \vec b = (1, 2m) + (3, -2) = (1+3, 2m-2) = (4, 2m-2) a+b=(1,2m)+(3,−2)=(1+3,2m−2)=(4,2m−2) -
根据平行条件建立方程
向量 ( a ⃗ + b ⃗ ) (\vec a + \vec b) (a+b) 与向量 b ⃗ \vec b b 平行意味着它们的斜率相等或它们都是零向量（但显然这不是本例的情况）。由于在二维空间中非零向量平行的充要条件是它们的方向相同或者相反，因此有：
2 m − 2 4 = − 2 3 \displaystyle \frac{2m - 2}{4} = \frac{-2}{3} 42m−2=3−2 -
解这个比例方程以找出 m 的值
2 m − 2 = − 8 3 \displaystyle 2m - 2 = -\frac{8}{3} 2m−2=−38解这个方程得到 m = − 1 3 \displaystyle m = \frac{-1}{3} m=3−1
- 所以， m = − 1 3 \displaystyle m=-\frac{1}{3} m=−31。
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