偶阶幻方的算术构造

本文介绍的任意偶阶幻方的构造方法，无需考虑单偶、双偶，也不需要高等数学基础。与许多其他方法比较，或有新意。仅有初等数学基础，就可方便构造。

——求质疑！

一、构造方法

本法构造的幻方，先根据几条通项公式，求得坐标轴上的1至n²自然数列中的部分数后，再依据本法的排列规则，可简便填充该数列其余所有的数字。

先把给定数列最小和最大的8个数，建立一个4阶幻方，作为任意n阶幻方的中心。以该4阶幻方为中心，建立两条平行的横坐标轴B、C轴，再在两条对角线位置建立两条斜坐标轴A、D轴（图一，坐标上的点，用格子代替，以便填数）

通过如下坐标轴通项公式

Nₘ=2m²-J(m-1)+1

(Jb=2，Jc=3，Jd=4，m=3，4，…)

Aₘ=2m² （ m=3，4，…)

Nₘ＇=H- Nₘ， Aₘ＇=H- Aₘ

确定各坐标轴正方向上的数字，而所有负方向上的数字，由互补的关系求得。再参照图例所示的排列规律，依次填写，即可方便得到任意偶阶幻方。

上述各式中，Nₘ表示各个坐标轴要填的数；J称初进数，对应B、C、D轴，J分别为2、3、4； m是各坐标格子序号，因为中心4阶幻方，已经占了格子序号1、2，所以m从3始取；H叫互补数，定义H=n²+1。也就是说，任何两个数之和为H，则称这两个数互补。 可以证明，由此方法得到的偶阶幻方，每一行、每一列及两条对角线上的数字之和

∑= n（1+ n²）/2

均相等，满足幻方的要求。

特别提示：

1、Ⅰ区域Dₘ+2等数字，包含在Ⅲ区域取数范围（Dₘ﹤Nₘ﹤Bₘ-1）内。当m =5,7,9,…时，这组数字中有且仅有一个数字（加m-1时），会跟C轴同序号的数字重复。处理的原则是，不许动C轴数字，在取数范围内，把本区域的这个重复数加1或减1，而把该数前后（均可）的数减1或加1，以避免重复且保持总和不变。实际上，Ⅰ区域要填的数，用Dₘ+2和（Dₘ+2）＋2，…等，只是限制了总和与个数，填什么数是不影响结果的。

2、 严格按上述原则填完Ⅰ区域后，剩余在取数范围Dₘ﹤Nₘ﹤Bₘ-1内的数字，恰能填充Ⅲ区域。可以证明，这个范围的数字个数，恰好对应所有的空格。填充Ⅲ区域时，务须注意避免重复，无需顾虑影响总和（可证）。

二、幻和的证明

本幻方的编排特点，先由通项公式求得坐标上的数字，再结合排列规律，确定一系列关键点的数字，最后利用对应格子上的数字互补的关系，求得其他空格应填的数字。

为了表述的方便，我们把所给1→n²自然数，两分其为1→n/2，(n/2)+1→n²两部分，称N≤n/2的数为小数，称N＞n/2的数为大数。由于由通项公式（Nₘ=2m²-J(m-1)+1等）决定的小数，仅是坐标序号m的函数，不含有与阶数有关的n因子，所以，小数的位置不因阶数的变化而变化；大数的数值由互补关系求得，相同的大数（Nₘ＇=H - Nₘ，H=n²+1），会随所取阶数的不同而出现在不同的位置。

特别值得注意的是，本幻方的两斜轴（A、D），把幻方分为四个对顶的三角形区域。互为对顶的两个区域的数字，是关于中心线互补的；四条坐标轴上的数字，是关于中心点互补的；中心4阶幻方的幻和是2 H。明确这些关系，会使证明容易得多。

下面，我们就从最难下手的最下面一行开始证明。这一