本文主要是介绍深刻理解树状数组--树状数组构造定义与动态维护区间和的合理性证明,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
文章目录
- 一.树状数组概览
- 二.树状数组构造定义
- lowbit运算
- 树状数组的结点值的定义
- 树状数组结点层次的定义
- 树状数组父子结点关系定义
- 三.关于树状数组结构的重要证明
- 引理1
- 引理2
- 树状数组模板题
一.树状数组概览
- 树状数组的下标从
1
开始标识,其物理结构是线性表,逻辑结构是一颗多叉树
- 对于一个原数组,树状数组可以动态维护原数组的区间和
- 下文中
[]
表示闭区间(包含端点),()
表示开区间(不包含端点)
二.树状数组构造定义
lowbit运算
- 得到一个整数二进制最低位的
1
的运算
int lowbit(int n){return n & (-n);
}
- 根据计算机补码原理不难证明:
树状数组的结点值的定义
-
设原数组为
arr
,树状数组为Tree
,Tree[n]
表示原数组arr
下标区间[n-lowbit(n)+1,n]
中所有数的和
-
根据树状数组的结点值的定义,很容易可以得到一个求原数组前缀和的递归表达式:
-
现有树状数组
Tree
,可以给出求原数组arr
区间[1,n]
前缀和的函数:
int Get_Sum(int * Tree,int n){if(n == 0)return 0;return Get_Sum(Tree,n - lowbit(n)) + Tree[n];
}
- 不难分析,该递归函数的时间复杂度为
logN
级别
树状数组结点层次的定义
- 树状数组
Tree[n]
结点的层次为n
二进制表示末位连续0
的个数 - 根据该定义可知,树状数组所有奇数位结点层次全部为0
- 根据该定义可知,设树状数组中结点
x
的层数为k
,则结点x+lowbit(x)
的层数一定大于k
(根据lowbit
运算的定义很容易可以证明)
树状数组父子结点关系定义
- 树状数组
Tree[n]
结点的父节点定义为:Tree[n+lowbit(n)]
- 根据上述定义,可以直观地感受一下树状数组的逻辑结构:
三.关于树状数组结构的重要证明
引理1
- 引理1:树状数组第x个结点的父结点所代表的原数组和区间
[x+lowbit(x)-lowbit(x+lowbit(x))+1,x+lowbit(x)]
包含x- 由于
lowbit(x + lowbit(x)) > lowbit(x)
,所以x+lowbit(x)-lowbit(x+lowbit(x))+1 <= x
,引理1成立
- 由于
引理2
- 引理2:树状数组第x个结点到其父结点之间的所有节点(不包括x结点和其父结点)所代表的原数组的和区间不包含x
- 证明:
- 最严格的证明应写成数学表达式,但考虑到直观性,这里略过了(其实并不难)
- 根据引理1和引理2,当原数组某个数arr[i]改变Δx时,树状数组只需从结点Tree[i]开始,沿着树中的路径向上层将每一个结点的值改变Δx就可以维持树状数组的数据结构完整性,实现了区间和的动态更新,时间复杂度为
logN
- 原数组第
n
个元素改变change
,树状数组Tree
的更新函数:
//size表示树状数组的长度
void UpDate(int * Tree ,int size,int n , int change){for(int i = n ; i <= size ; i+=lowbit(i)){Tree[i] += change;}
}
树状数组模板题
树状数组模板题1
树状数组模板提2
这篇关于深刻理解树状数组--树状数组构造定义与动态维护区间和的合理性证明的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!