BZOJ2005 [Noi2010]能量采集——莫比乌斯反演

本文主要是介绍BZOJ2005 [Noi2010]能量采集——莫比乌斯反演，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

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从(0,0)到(x,y)连线上植物共有$gcd(x,y)$株植物，除去(x,y)再$\ast 2+1$就是$(gcd(x,y)-1)\ast 2+1=2\ast gcd(x,y)-1$

所以答案就是$2\ast ({\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{m}gcd(i,j))-n\ast m$

所以重点就是求出${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{m}gcd(i,j)$ （依旧假设$n<=m$）

${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{m}gcd(i,j)={\sum }_{k=1}^n{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{m}k\ast [gcd(i,j)=k]={\sum }_{k=1}^{n}k\ast {\sum }_{i=1}^{\frac{n}{k}}{\sum }_{j=1}^{\frac{m}{k}}[gcd(i,j)=1]$

$={\sum }_{k=1}^{n}k\ast {\sum }_{i=1}^{\frac{n}{k}}{\sum }_{j=1}^{\frac{m}{k}}{\sum }_{x|gcd(i,j)}\mu (x)={\sum }_{k=1}^{n}k\ast {\sum }_{x=1}^{\frac{n}{k}}\mu (x)[\frac{n}{kx}][\frac{m}{kx}]$

首先右边就是关于$x$的一个数论分块，然后又跟$k$有关，所以又要再套一个$k$的分块，$k$的大分块在外，里面套一层$x$的分块即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 100005
#define ll long long
using namespace std;
int read(){char c;int x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}
ll n,m,l,r,prime[MAXN],mu[MAXN],vis[MAXN],top,gcd,sum[MAXN];
ll calc(int x){  //x的小分块ll l=1,ans=0,N=n/x,M=m/x;while(l<=N){ll r=min(N/(N/l),M/(M/l));r=min(r,N);ans+=(sum[r]-sum[l-1])*(N/l)*(M/l);l=r+1;}return ans;
}
int main()
{n=read();m=read();if(n>m) swap(n,m);mu[1]=sum[1]=1;for(int i=2;i<=m;i++){if(!vis[i]) prime[++top]=i,mu[i]=-1;for(int j=1;j<=top&&i*prime[j]<=m;j++){vis[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0) break;mu[i*prime[j]]=-mu[i];}sum[i]=sum[i-1]+mu[i];}l=1;while(l<=n){  //k的大分块r=min(n/(n/l),m/(m/l));r=min(r,n);gcd+=calc(l)*(r-l+1)*(l+r)/2;l=r+1;}printf("%lld",2*gcd-n*m);return 0;
}

2018.10.30更新Ps：这道题其实可以不用两个数论分块，因为上面的式子还可以继续化。还记得那个我也不会证但是十分有用的定理吗？

${\sum }_{n|d}\frac{\mu (n)}{n}=\frac{\phi (d)}{d}$,那么我们带入上面的${\sum }_{k=1}^{n}k\ast {\sum }_{x=1}^{\frac{n}{k}}\mu (x)[\frac{n}{kx}][\frac{m}{kx}]$就可以得到${\sum }_{k=1}^{n}k\ast [\frac{n}{k}][\frac{m}{k}]\phi (k)$，所以我们线性筛出$\phi$函数，然后直接一个数论分块即可。

这篇关于BZOJ2005 [Noi2010]能量采集——莫比乌斯反演的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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