求解SDP问题—使用SeDuMi和YALMIP

本文主要是介绍求解SDP问题—使用SeDuMi和YALMIP，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

http://pinkyjie.com/2010/09/11/solve-sdp-using-sedumi-yalmip/

求解SDP问题—使用SeDuMi和YALMIP

9月 11日 2010

SDP(SemiDefinite Programing，半定规划)是凸优化(Convex Optimization)的一种，貌似近些年来比较热，反正这个东西常常出现在我看的论文中。论文里一般是把一个问题转化为SDP，然后极不负责任的扔了一句可以使用SeDuMi等工具箱解决就完事了，搞的本人非常迷茫，于是决定一探究竟，谁知还搞了个意外收获，那就是YALMIP工具箱。SeDuMi和YALMIP都是Matlab的工具箱，下载和安装请参见它们的主页。下面我就分别谈谈怎么样将两个工具箱应用于SDP求解吧。

SDP问题的对偶原型及求解步骤

下面就是一个典型的SDP问题：

m i n c T y s . t . A 1 y = b 1 A 2 y \geq b 2 F 0 + y 1 F 1 + \dots + y p F p \geq 0

目标函数是线性的，有一个等式约束，有一个不等式约束，最后一个是LMI(Linear Matrix Inequality，线性矩阵不等式)约束。使用SeDuMi来解决此类问题，我们就要自行构造调用SeDuMi的核心函数sedumi(Att,bt,ct,K)的四个参数。

A t (:, i) = - v e c (F i) f o r i = 1, \dots, p

A t t = [A 1; - A 2; A t]

b t = - c

c t = [b 1; - b 2; v e c (F 0)]

等式约束的个数: K.f=size(A1,1)

不等式约束的个数: K.l=size(A2,1)

LMI中矩阵的阶数: K.s=size(F0,1)

这样，我们就可以调用 [x,y,info]=sedumi(Att,bt,ct,K) 来求解了，其中的y即为优化后得到的最优解。

一个典型的例子

这里举一个简单的例子，并给出Matlab的实际代码，以便能更好地理解运用上节的知识。SDP的一个最简单的应用就是最大化矩阵的特征值问题。如我们要找 y1,y2,y3 使矩阵 F=F0+y1F1+y2F2+y3F3 的特征值最大化，其中 F0,F1,F2,F3 分别为：

F 0 = ⎡ ⎣ ⎢ 2 - 0.5 - 0.6 - 0.5 2 0.4 - 0.6 0.4 3 ⎤ ⎦ ⎥, F 1 = ⎡ ⎣ ⎢ 010100000 ⎤ ⎦ ⎥, F 2 = ⎡ ⎣ ⎢ 001000100 ⎤ ⎦ ⎥, F 3 = ⎡ ⎣ ⎢ 000001010 ⎤ ⎦ ⎥

同时，我们对 y1,y2,y3 也给出一个不等式限制和一个等式限制：

0.7 \leq y 1 \leq 1, 0 \leq y 2 \leq 0.3, y 3 \geq 0

y 1 + y 2 + y 3 = 1

那么这个问题可以描述成以下形式：

m i n t s . t . A 1 y = b 1 A 2 y \geq b 2 t I - (F 0 + y 1 F 1 + y 2 F 2 + y 3 F 3) \geq 0

其中 y,A1,A2,b1,b2 的取值分别为：

y = [y 1, y 2, y 3, t] T, A 1 = [1, 1, 1, 0] b 1 = 1, b 2 = [0.7, - 1, 0, - 0.3, 0] T A 2 = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 - 1 000 001 - 1 0 0000100000 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

下面我们就可以使用sedumi函数进行优化求解了，给出Matlab代码：

      A1 = [1 1 1 0];
A2 = [1 0 0 0; -1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 1 0];
b1 = 1;
b2 = [0.7 -1 0 -0.3 0]';
F0 = [2 -0.5 -0.6; -0.5 2 0.4; -0.6 0.4 3];
F1 = [0 1 0; 1 0 0; 0 0 0];
F2 = [0 0 1; 0 0 0; 1 0 0];
F3 = [0 0 0; 0 0 1; 0 1 0];
F4 = eye(3);
At = -[vec(F1) vec(F2) vec(F3) vec(F4)];
Att = [A1; -A2; At];
bt = -[0 0 0 1]';
ct = [b1; -b2; vec(F0)];
K.f = size(A1,1);
K.l = size(A2,1);
K.s = size(F0,1);
[x,y,info] = sedumi(Att,bt,ct,K);
y

最后得到的y即为最优解，它的前三个分量就是我们想要的答案。如下图所示：

YALMIP一出，谁与争锋

我们从上面也可以看到，SeDuMi的求解过程还是比较复杂的，不仅需要将优化问题先化成SDP的标准形式，而且参数的配置也相当费功夫，很不直观！在搜索SeDuMi的过程中，我又发现了一个叫YALMIP的工具箱，它的命名挺有意思，Yet Another LMI Package，又一个LMI包，呵呵，不过它可不是徒有虚名啊！简单的说，它可以非常直观的将目标函数和约束条件赋给它的核心函数solvesdp(Constraint,Objective)，下面我们就看看解决同样的问题YALMIP是怎么操作的，废话不说了，直接上Matlab代码：

      t = sdpvar(1); % sdpvar声明变量
y = sdpvar(3,1,'full');
F0 = [2 -0.5 -0.6; -0.5 2 0.4; -0.6 0.4 3];
F1 = [0 1 0; 1 0 0; 0 0 0];
F2 = [0 0 1; 0 0 0; 1 0 0];
F3 = [0 0 0; 0 0 1; 0 1 0];
a = [sum(y)==1]; % 等式约束
b = [0.7<=y(1)<=1, 0<=y(2)<=0.3, y(3)>=0]; %不等式约束
c = [t*eye(3)-(F0 + y(1)*F1 + y(2)*F2 + y(3)*F3)>=0]; % LMI约束
obj = t;
constraint = [a,b,c];
solvesdp(constraint,obj);
double(y)