椭圆扁率的取值范围-高考理科数学真题

本文主要是介绍椭圆扁率的取值范围-高考理科数学真题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

据说是高考数学题。

如图，红色椭圆的方程是：

$$\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1,\quad a>1$$
蓝色圆的圆心固定，半径在 $r\in(0,+\infty)$ 区间上可变：
$$x^2+(y-1)^2=r^2$$

如果红色的椭圆和蓝色的圆最多只有三个交点（0，1，2，3都行），求 $a$的取值范围，以及扁率(flattening factor, eccentricity) $e=\dfrac{\sqrt{a^2-1}}{a}$ 的取值范围。

标准答案的解法是，考虑四个交点的情况，以及交点关于$y$ 轴的对称性，所有交点到圆心$(0,1)$的距离都相同，过圆心，斜率为$k$的直线，截椭圆所得的弦的长度可以表示成$k,a$的函数。 通过左侧两个斜率为正交点与$(0,1)$所得两条弦的长度相等，得到当 $k_1,k_2$的方程有解时候 $a$的取值范围($a<\sqrt{2}$)。

但是计算相当繁琐。

这道题难在，即使尝试高等数学方法，似乎也没有简单易行的解法。比如，求多项式方程组的解，找复数解的个数；以及利用微分几何，求椭圆的密切圆等。

碰上这种题，似乎只有一种策略了：认怂；老老实实照出题人的思路一步一步做，碰上繁琐的计算就耐心点。

——有简单的解法吗？不局限于高中的数学知识。——我最不习惯繁琐的计算了，这是我的弱点。当然，平时我会借助符号计算；但是考虑到考场上一般不行，简单解法还是值得期待的。

以下来自维基中文

这篇关于椭圆扁率的取值范围-高考理科数学真题的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---