〖前人指路〗多元、多项线性回归,MATLAB实现

多元线性回归 regress 

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一元多项式：polyfit或者polytool

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多元二项式：rstool或者rsmdemo 

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——本帖收录于〖素质文库〗

（四大专题：〖前人指路〗、〖Only one〗、〖On Spss〗、〖On Matlab〗）

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一、多元线性回归

    表达式： 

    1、b=regress(Y,X)确定回归系数的点估计值

    2、[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型

①bint表示回归系数的区间估计.

②r表示残差

③rint表示置信区间

④stats表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p

    说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著； 

时拒绝H0，F越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率p<α时拒绝H0

⑤alpha表示显著性水平(缺省时为0.05)

3、rcoplot(r,rint)画出残差及其置信区间

具体参见下面的实例演示

4、实例演示，函数使用说明

(1)输入数据

(2)回归分析及检验

运行结果解读如下

参数回归结果为 

，对应的置信区间分别为[-33.7017,1.5612]和[0.6047,0.834]

r2=0.9282(越接近于1，回归效果越显著)，F=180.9531，p=0.0000，由p<0.05,可知回归模型y=-16.073+0.7194x成立

(3)残差分析作残差图

     从残差图可以看出，除第二个数据外,其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常点。

(4)预测及作图

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二、一元多项式回归

1、一元多项式回归函数

    (1)[p,S]=polyfit(x,y,m)确定多项式系数的MATLAB命令

说明：x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)；p=(a1,a2,…,am+1)是多项式y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1的系数；S是一个矩阵,用来估计预测误差

    (2)polytool(x,y,m)调用多项式回归GUI界面，参数意义同polyfit

   2、预测和预测误差估计

    (1)Y=polyval(p,x)求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y

    (2)[Y,DELTA]=polyconf(p,x,S,alpha)求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA，alpha缺省时为0.5

    3、实例演示说明

观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s的表达式(即回归方程s=a+bt+ct2)

t(s)1/30 2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30

s(cm)11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13

t(s)8/30 9/30 10/30 11/30 12/30 13/30 14/30

s(cm)61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48

解法一：直接作二次多项式回归

故回归模型为 

解法二：化为多元线性回归

故回归模型为： 

预测及作图

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三、多元二项式回归

1、多元二项式回归Matlab命令

rstool(x,y,'model',alpha)

输入参数说明：

x：n*m矩阵；

Y：n维列向量；

alpha：显著性水平(缺省时为0.05)；

mode：由下列4个模型中选择1个(用字符串

2、实例演示说明

设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下,建立回归模型,预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量

需求量100 75 80 70 50 65 90 100 110 60

收入1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300

价格5 7 6 6 8 7 5 4 3 9

解法一：选择纯二次模型

    在x1对应的文本框中输入1000，X2中输入6，敲回车键，此时图形和相关数据会自动更新

    此时在GUI左边的“Predicted Y1”下方的数据变为88.47981，表示平均收入为1000、价格为6时商品需求量为88.4791

    点击左下角的Export按钮，将会导出回归的相关参数beta、rmse和residuals到工作空间(workspace)

    在Export按钮下面可以选择回归类型

    在Matlab命令窗口中输入

    将得到如下结果

故回归模型为 

解法二：将上面饿模型转换为多元线性回归