{ejnΩt}(n=0,±1,±2,...) { e j n Ω t } ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . )
帕萨瓦尔方程(判定信号函数可分解为正交函数的依据)
∫t2t1f2(t)dt=∑j=1∞C2jKj ∫ t 1 t 2 f 2 ( t ) d t = ∑ j = 1 ∞ C j 2 K j
2. 傅里叶级数
周期信号的傅里叶变换结果是离散的
傅里叶变换的前提: 函数 f(t) f ( t ) 满足狄里赫利条件
函数在任意有限区间内连续, 或只有有限个第一类间断点;
在一个周期内, 函数有有限个极大值或极小值.
周期信号的傅里叶展开(傅里叶级数的三角函数形式)
f(t)=a02+a1cos(Ωt)+a2cos(Ωt)+...+b1sin(Ωt)+b2sin(Ωt)+...+=a02+∑n=1∞ancos(nΩt)+∑n=1∞bnsin(nΩt)(5)(6) (5) f ( t ) = a 0 2 + a 1 cos ( Ω t ) + a 2 cos ( Ω t ) + . . . + b 1 sin ( Ω t ) + b 2 sin ( Ω t ) + . . . + (6) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( n Ω t ) + ∑ n = 1 ∞ b n sin ( n Ω t )
上式中 an,bn a n , b n 称为傅里叶系数. 傅里叶系数的求解方法如下式:
anbn=2T∫T2−T2f(t)cos(nΩt)dt,n=0,1,2,...=2T∫T2−T2f(t)sin(nΩt)dt,n=1,2,...(7)(8) (7) a n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) cos ( n Ω t ) d t , n = 0 , 1 , 2 , . . . (8) b n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) sin ( n Ω t ) d t , n = 1 , 2 , . . .
式中
T T
为函数的周期,
Ω=2πT
是角频率
将上述展开式的同频率项合并, 可得到下述形式:
f(t)=A02+A1cos(Ωt+ϕ1)+A2cos(2Ωt+ϕ2)+...=A02+∑n=1∞Ancos(nΩt+ϕn)(9)(10) (9) f ( t ) = A 0 2 + A 1 cos ( Ω t + ϕ 1 ) + A 2 cos ( 2 Ω t + ϕ 2 ) + . . . (10) = A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ A n cos ( n Ω t + ϕ n )
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