初等模型——公平的奖学金名额分配

目录

一、问题

 二、公平分配方法

①我们先按照比例来分：

②公平分配方法：

三、计算和结果

先说一下，本篇是学校上课内容个人的整理笔记。

一、问题

三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），20个奖学金名额，按比例分配，三个系分别为10，6，4名。现因学生转系，三系人数为103，63，34，问20个名额该如何分配？

我们按比例分配：

看着蛮合理的，那么问题来了，如果增加名额至21个，该怎么分配呢？

 二、公平分配方法

①我们先按照比例来分：

按照比例算，四舍五入，似乎这样是合理的，但是你想，当有20个名额的时候，丙系分到了4个名额，有21个名额时，丙系却只分到了3个名额，不合理！丙系的同学们应该很气恼吧。有没有更公平的分配方式呢？

②公平分配方法：

当p1/n1=p2/n2时，分配公平。

当p1/n1>p2/n2时，对A不公平。

当p1/n1<p2/n2时，对B不公平。

为什么呢？想一下，人数多，名额少是怎么一回事？懂了吧。

那么此时p1/n1-p2/n2即为对A的绝对不公平度。

这里看两个绝对不公平度的例子：

p1=150,n1=10,p1/n1=15
p2=100,n2=10,p1/n2=10
p1/n1-p2/n2=5

p1=1050,n1=10,p1/n1=105
p2=1000,n2=10,p1/n2=100
p1/n1-p2/n2=5

两个绝对不公平度的数值是一样的。但是举个例子你细品一下。 

苹果4元一斤，现在6元一斤，涨价太快了，榴莲30元一斤现在32元了，感觉还好。

也就是说当人数非常大的时候不公平的程度会大大的减少，没有那么坑了。

将绝对度量改为相对度量：

若p1/n1>p2/n2，定义:

(p1/n1-p2/n2)/p2/n2=rA(n1,n2)即为相对A的不公平度。

比上p2/n2与GDP增长率的算法是相类似的，方便记忆。

对B的与A类似。

为了公平，这个相对度量越小越好。

接下来讨论一下几种情况：

假设初始p1/n1>p2/n2

1）若p1/(n1+1)>p2/n2，则名额应该给A【回忆一下刚刚的想法】

2）若p1/(n1+1)<p2/n2，应计算rB(n1+1,n2)

3）若p1/n1>p2/(n2+1)，应计算rA(n1,n2+1)

不存在p1/n1<p2/(n2+1)。

就第二个和第三个讨论一下，

若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1)，则名额应给A。

若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1)，则这个名额应给B。

【给A还是B怎么确定？代入一下上面计算r的式子，得到一个新的式子，又因为想让这个数尽可能的小于是就给到了相应的组别那里。这里就不写步骤了】

得到的表达式：

发现这个形式符合：

 i=1,2,3……

且给Q值较大的一方。

三、计算和结果

我们按照新的方法去分配这个人数。

当然不必每一个名额都这样计算，我们只去计算最令我们头疼的两个名额，第20个和第21个。

前面按照比例计算：甲10个，乙6个，丙3个。

第20个：

 应当给甲。

第21个：

只有Q1变化了【名额增加了】，计算后应该给丙。

于是得到最终的分配人数是：

甲11个，乙6个，丙4个。