自动控制原理（胡寿松版）1~4章复习笔记

1. 什么是控制，什么是自动控制

控制：就是使被控对象的被控变量产生预期响应，即按照预期的方式工作。

最终实现控制目标--- 使被控对象的某个量按照期望特征运行。

自动控制：在没有人直接参与下，利用控制装置操纵被控对象，使被控量按照给定值的规律变化。

自动控制包含的要素

1.被控对象、控制目标（预期目标、期望目标）、控制器与执行器

2.开环控制和闭环控制（是否有反馈）

开环不包含反馈，特点：1）结构简单，仅有前向通路； 2）控制精度低，抗干扰能力差； 3）成本低，容易维护。

闭环包含反馈

3.扰动

使被控对象偏离理想状态的一切因素，内部扰动是内部模型的变化，包括参数变化等；外部扰动是不希望的输入信号

举例

抽水马桶

分析抽水马桶的控制目标是使马桶内水位在一个恒定的值，确定被控变量为实际液位h(t)，被控对象为抽水马桶（值得注意的是，有时候一个被控对象不止有一个被控变量），控制器是马桶内的机械杠杆，执行器是活塞，测量器是浮子。

工作流程：冲水——浮子检测到水位降低——反馈回输入端——误差值通过机械杠杆进行调节——活塞打开，水箱放水——重新检测水位——反馈回输入端（循环往复该流程直至偏差消除）

2.自动控制系统的分类

1.按控制方式分   

开环控制 闭环控制 复合控制

2.按给定的参考输入信号r(t）分

定值控制：输入恒值，输出恒值

随动(伺服)控制：输入信号随时间任意变化的函数

程序控制：输入信号按照预先知道的时间函数变化

3.根据数学性质分

叠加原理：输入u1(t)，输出y1(t)；输入u2(t)，输出 y2(t)；若输入为au1(t)+bu2(t)，输出 ay1(t)+by2(t)，则系统满足叠加原理。

线性系统：系统由线性元件构成，描述运动规律的数学模型为线性微分方程，系统满足叠加原理

非线性系统：不满足叠加原理。有非线性环节，系统的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系，可能存在非常复杂的非线性关系，例如指数函数、正弦函数等。

静态：线性动态系统+静态非线性环节

动态：非线性动态系统

4 按参数是否随时间变化

定常系统：系统的参数不随时间变化

时变系统：系统的参数随时间变化

5 按输入、输出个数

SISO：单输入单输出系统 Single input single output

MIMO：多输入多输出系统 Multiple input multiple output

6 按系统传输信号的时间性质分类

连续系统：所有信号均为时间t的连续函数，系统 由用微分方程来描述。所有信号都是模拟信号。 离散系统：至少有一处信号是脉冲序列或数字量， 系统必须用差分方程来描述

3.控制系统的基本性能要求：稳准快平（重要）

1、稳定性：指系统受到短暂的扰动后重新恢复 平衡工作的能力。

稳定性是决定系统能否正常工作的先决条件。

2、快速性：消除偏差的时间快慢。

3、平稳性：动态过程中的超调现象（快速性和平稳性反映了系统的动态品质）

4、准确性：稳态值与参考值的偏差程度， 记为ess（是系统稳态精度的体现）

4.物理系统的数学模型

简单来说就是用数学关系描述系统的运动机理和行为表现

通过实例引出:

例: RLC电路系统 输入电压与电容两端产生的电压之间的关系。

第一步：找出输入量和输出量，即和

第二步：根据基本定律列写微分方程组

由基尔霍夫定律：

第三步消去中间变量，使方程式只含有系统的输入、输出变量及其各阶导数，最后化简；

目前我们所研究的系统都是线性系统 线性系统的重要特性是叠加原理

 叠加原理 = 叠加性+齐次性

一般线性系统的标准式

线性化方法

本课程主要研究线性定常系统，但实际的系统多是非线性的，此时通过线性化方法进行处理（能够解决大量的实际问题。

举例说明：

例1:水箱液位控制系统，水箱底面积A，出水量𝑄2 =  列写 Q1——h 的微分方程

对于上图红色字体部分的操作为，在h0处取h函数的泰勒展开：

方程的变量发生了变化，线性化方程实质上是稳态点处增量的动态方程！！!

5.传递函数

利用Laplace变换求解常微分方程组的办法

传递函数的定义

在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。

传递函数的标准形式和增益

（1）首1标准型

   

（2）尾1标准型

在两种形式中K和K*有关系如下：

，K的值称为增益

举例

传递函数中零极点的影响

极点：微分方程的特征根，决定了所描述系统自由运动的模态。

极点对系统响应的影响：

零点：不形成自由运动的模态，但影响各模态在响应 中所占的比重，因而影响曲线的形状。

传递函数的局限性

（1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；

（2）适合于描述单输入/单输出系统；

（3）只能用于表示线性定常系统。

（4）只描述系统的输入—输出特性，而不能表征系统内部所有状态的特性。

典型环节的传递函数

1、比例环节

2. 积分环节

3. 惯性环节

4. 微分环节

5.振荡环节

6.延迟（时滞）环节

6.控制系统的结构图 

方框图是传递函数的图解化，方框图由函数方框、 相加点、分支点和信号线构成。

1、比较点： 对多个信号进行加、减运算。 （默认是加号，负号必须标出）

2、引出点（分支点）：表示信号的引出和测量位置。注意：同一位置引出的信号 大小和性质完全一样

直接举例：

在绘制时，根据四个微分方程分别画出对应四个环节的方框图，再合并即可

方框图变换规则

串联、并联和反馈：串联即相乘，并联即相加，反馈可用Mason公式化简

方框图的化简

了解到方框图化简的本质是代数方程的图解法

举例：

7.信号流图与Mason公式

信号流图是系统中各变量间相互关系以及信号传递过程的一种图解方法，是控制系统方框图的等 价表示。信号流图由支路和节点组成。

回路、无接触回路和前向通路

梅森公式

使用梅森公式的步骤：

1、寻找所有回路；

2、寻找所有前向通路；

3、判断哪些回路之间不接触；

4、判断前向通路与哪些回路不接触；

举例

8.系统时间响应的性能指标

在实际系统中，其输入信号不是预知的，故常常选用一些典型输入信号来考察系统性能

1.单位阶跃信号：工作状态突然改变，能 够反映系统的快速性和 动态过程的平稳性。

2.单位脉冲信号：考察系统在脉冲扰动后的复位过程或系统的调节能力。相当于给系统附初值

3.单位斜坡信号：考察系统跟踪匀速变化信号的性能。

4.加速度信号：考察系统对于输入加速度信号的运动规律或对加速度信号的跟踪能力

5.正弦信号：考察系统对于输入周期变化信号的跟踪能力。

系统对一个信号作出响应时可以分为两个过程：动态过程（过渡过程）和稳态过程

动态性能指标

（1）上升时间tr：指相应曲线从零时刻到首次到达稳态值的时间，对于无超调系统取稳态值10-90%的经历时间。

（2）峰值时间tp：响应曲线从0到达第一个峰值所需的时间。

（3）调节时间ts：在响应曲线从0到达且不再超过稳态值的±5%或±2%误 差范围所需的最少时间。

（4）最大超调量σ%：指在系统响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百分比

（5）振荡次数N：在动态过程持续时间内 t ≤ ts ，单位阶跃响应 曲线穿越其稳态值的次数的一半。

（6）延迟时间td：阶跃响应第一次达到终值的50％所需的时间。

稳态性能指标

稳态误差：描述系统稳态性能的一种性能指标， 是系统控制精度或抗扰能力的一种度量。

当t→∞时，系统的输出量不等于输入量（或输入量的函数），则系统存在稳态误差。

误差：e(t)=r(t)-c(t) 稳态误差：ess=e(∞)

9.一阶系统的时域分析

一阶系统：由一阶微分方程描述的控制系统

由图可以看出在0.632y（∞）时，t=T，也可列方程计算。

一阶系统单位阶跃响应曲线特点

1）一阶惯性环节的阶跃响应无振荡， 能趋于稳态值。

2）T=0+时刻，系统运动的变化率最大。

3）t=3T或4T时，输出基本达到稳态值。

4）稳态特性： 系统阶跃响应的稳态误差为零。

5）提高一阶系统单位阶跃响应快速性的方法： 减小时间常数T。

举例

一阶线性定常系统对其他典型输入信号的响应：

总结几点：

1.一阶系统对于脉冲扰动 信号，具有自动调节能力。

2.一阶系统在跟踪单位斜坡信号时具有稳态误差， 其数值等于系统的时间常数T。 时间常数越小， 稳态误差就越小。

3.误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。

10.二阶系统的时域分析（难点和重点）

二阶系统的标准传递函数：

阻尼比<0时，极点为两个具有正实部的点，系统的响应表现为发散

阻尼比=0时，极点为两个共轭纯虚极点，系统的响应表现为等幅振荡

阻尼比>0时，极点为两个具有负实部的点，系统的响应表现为衰减至稳态值

在稳定状态下讨论三种情形：>1（过阻尼），=1（临界阻尼），0<<1（欠阻尼）

欠阻尼下的二阶系统的时域分析：

1.上升时间 tr 的计算

2.峰值时间 tp 的计算

3.超调量 σp的计算

4.调节时间 ts 的计算

5.振荡次数 N 的计算

举例

二阶系统性能的改善

两种方法：比例+微分（PD）控制   —— 提前控制

                  测速反馈（微分负反馈）—— 增加阻尼

11.高阶系统的时域分析

高阶系统单位阶跃响应的特点：

1 若高阶系统的闭环极点全部具有负实部， 即所有闭环极点全部位于复平面的左半平面， 则单位阶跃响应的暂态分量最终一定衰减为零。

2 在暂态分量中，每一项的衰减快慢取决于相应 极点的实部绝对值的大小，或者说极点离虚轴的远近， 负实部的绝对值越大，或者说极点离虚轴越远， 则这一项暂态分量衰减越快。

3 高阶系统的单位阶跃响应中，暂态分量的各项系数 不仅和闭环极点有关， 而且也和闭环零点有关。 在复平面上，如果某一闭环极点靠近某一零点， 而且又与其他极点相距较远，则相应衰减项系数较小， 对暂态分量的影响也较小。

如果某一对闭环极点、零点非常靠近，则称为 一对闭环偶极子。该闭环极点对暂态过程几乎没有 影响。这种现象，称之为零极点相消。

闭环主导极点

在闭环极点中，如果有一对共轭虚数极点， 或一个实数极点，离虚轴最近，其他极点离虚轴的 距离都是它（们）到虚轴距离的5倍以上，并且距离 虚轴较近处又没有单独的闭环零点， 则这对（个）离虚轴最近的极点称为高阶系统的闭环主导极点。

高阶系统近似为二阶系统

12.线性系统的稳定性分析

定义：在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，如果扰 动消除后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的 平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。

稳定的充分必要条件：

闭环系统特征方程的所有根均具有负实部； 或者说，闭环传递函数的极点均位于复平面 的左半平面。

Routh稳定判据

Routh表：

Routh判据：

Routh表中第一列计算值均>0，说明系统稳定。

关于Routh判据的几点说明：

1）如果第一列中出现负值，系统不稳定；

2）第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目。

Routh判据的应用

13.线性系统的稳态误差计算

计算稳态误差的一般方法

系统型别

按系统含有的积分环节数目ν可将系统分 为不同的型别:通常，

称ν=0的系统为0型系统。

称ν=1的系统为Ⅰ型系统。

称ν=2的系统为Ⅱ型系统。

以此类推。 系统的型别越高，跟踪典型输入信号的无 差能力越强。

其中K为静态误差系数。

静态误差系数法

再对照此图

减小和消除稳态误差的方法

减小或消除输入信号作用下的稳态误差（顺馈控制）

减小或消除干扰信号作用下的稳态误差（顺馈补偿）

动态误差系数法

步骤：

表示出误差传递函数——计算误差输出函数——拉式反变换得时域误差函数

14.根轨迹法的基本概念

根轨迹 系统中某个参数由0变化到+ 时， 闭环极点在s平面内画出的轨迹。

开环增益从0 → + 时，闭环极点的轨迹， 称为一般根轨迹（也叫180度根轨迹）。

根轨迹特征方程

s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条 件）一定在根轨迹上。满足相角条件是S点位于根轨迹上的充分必要条件。

15.根轨迹绘制的基本法则

补充：法则8根之和也可以表示为开环极点之和等于开环零点之和

 对于法则7补充：

举例

值得注意的是，在计算过程中我们只得到了根轨迹增益，记得多写一步表示增益。

16.广义根轨迹

1.参数根轨迹

有时我们需要研究除了开环增益K以外的其他参数从0->+无穷时，闭环系统极点的变化情况，将其他参数作为参变量的根轨迹叫做反馈系统的参数根轨迹。

常常，我们用等效开环传递函数来表示：

举例

2.参数根轨迹族

3.零度根轨迹

举例

17.利用根轨迹分析系统性能

举例

闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系

1.系统要稳定：闭环极点全部位于s左半平面，与闭 环零点无关；

2.快速性好：闭环极点均远离虚轴，以使每个分量 衰减更快；

3.平稳性好：主导共轭复数极点位于β=±45°等阻 尼线上，其对应最佳阻尼系数为 =0.707 ；

4.若非主导极点与主导极点实部比>5，且主导极点附近 又无闭环零点，则非主导极点可忽略。一般可近似将 高阶系统看成有共轭复数主导极点构成的二阶系统或 由实数主导极点组成的一阶系统。

5.闭环零点可以抵消或削弱附近闭环极点的作用，当某 个零点-zi与某个极点-pj非常接近，成为一对偶极子。

增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响

18.基于根轨迹法的串联超前校正

19.线性系统的频域分析与校正

三种模型：

1.微分方程

2.传递函数

3.频率特性