Chapter6.2：线性系统的校正方法

此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
自动控制原理(第七版)课后习题精选
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第六章：线性系统的校正方法

Example 6.11

设复合校正控制系统如下图所示：

要求：

1. 选择前馈装置$G_n(s)$，使扰动$n(t)$对系统输出无影响；
2. 选择$K_2$，使系统具有最佳阻尼比$\zeta =0.707$；

解：

1. 选择前馈装置$G_n(s)$，使扰动$n(t)$对系统输出无影响；

   当$R(s)=0$时，有：
   $$\frac{C(s)}{N(s)}=\frac{\left(1+\frac{K_1{K}_{2}s}{s^2}\right)-\frac{G_n(s)}{s^2}}{1+\frac{K_1{K}_{2}s}{s^2}+\frac{K_1}{s^2}}=\frac{s^2+K_1{K}_{2}s-G_n(s)}{s^2+K_1{K}_{2}s+K_1}$$
   由上式可知：当$K_1>0，K_2>0$时，闭环系统稳定；

   若使扰动$n(t)$对系统输出无影响，则：
   $$s^2+K_1{K}_{2}s-G_n(s)=0\Rightarrow G_n(s)=s(s+K_1{K}_2)$$

2. 选择$K_2$，使系统具有最佳阻尼比$\zeta =0.707$；

   由系统结构图可得：
   $$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\frac{K_1}{s^2}}{1+\frac{K_1{K}_{2}s}{s^2}+\frac{K_1}{s^2}}=\frac{K_1}{s^2+K_1{K}_{2}s+K_1}$$
   则
   $${\omega }_n=\sqrt{K_1}，2\zeta {\omega }_n=K_1{K}_2\Rightarrow \zeta =\frac{K_2\sqrt{K_1}}{2}$$
   由$\zeta =0.707$，则$K_2=\sqrt{\frac{2}{K_1}}$.

Example 6.12

设单位反馈系统的开环传递函数为：$G_0(s)=\frac{K}{s(0.1s+1)(0.2s+1)}$，设计一校正装置，使系统满足下列性能指标：

1. 静态速度误差系数$K_v=30$；
2. 相角裕度$\gamma \ge 40°$；
3. 对于频率$\omega =0.1$，振幅为$3°$的正弦输入信号，稳态误差的振幅不大于$0.1°$；

解：

由题意，取$K=K_v=30$，则待校正系统的传递函数为：
$$G_0(s)=\frac{30}{s(0.1s+1)(0.2s+1)}$$

1. 绘制待校正系统的对数幅频渐近特性曲线。

   待校正系统的对数幅频渐近特性曲线如$L^{\prime }(\omega )$所示，由图可得，待校正系统的截止频率${\omega }_c^{\prime }=12.25rad/s$，计算待校正系统的相角裕度为：
   $${\gamma }^{\prime }={(180°-90°-\arctan 0.1{\omega }_c^{\prime }-\arctan 0.2{\omega }_c^{\prime })|}_{{\omega }_c^{\prime }=12.25}=-28.57°$$
   表明待校正系统不稳定，考虑采用滞后校正.

2. 由要求的${\gamma }^{\prime \prime }$选择${\omega }_c^{\prime \prime }$。

   选取$\phi ({\omega }_c^{\prime \prime })=-6°$，要求${\gamma }^{\prime \prime }=40°$，则有：${\gamma }^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })={\gamma }^{\prime \prime }-\phi ({\omega }_c^{\prime \prime })=46°$.

   由
   $${\gamma }^{\prime \prime }=90°-\arctan 0.1{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.2{\omega }_c^{\prime \prime }$$
   解得校正后系统的截止频率：${\omega }_c^{\prime \prime }=2.74rad/s$.

3. 确定滞后网络参数$b$和$T$。

   当${\omega }_c^{\prime \prime }=2.74rad/s$时，由图可测得：$L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=20.79\mathrm{dB}$；再由$20\lg b=-L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })$，解得：$b=0.0913$，取$b=0.1$。令$\frac{1}{bT}=0.14{\omega }_c^{\prime \prime }$，求得：$T=26.07$。

   则串联滞后校正网络的对数幅频渐近特性曲线如$L_c(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}=\frac{1+2.61s}{1+26.07s}$$
   已校正系统的对数幅频渐近特性曲线如$L^{\prime \prime }(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$G_c(s)G_0(s)=\frac{30(2.61s+1)}{s(0.1s+1)(0.2s+1)(26.07s+1)}$$

4. 仿真结构图及仿真结果。

由输出波形图可知，稳态误差振幅为$|e_{ss}(t)|=0.027°<0.1°$，满足设计要求.

5. 系统开环对数幅频渐近特性曲线。
   

Example 6.13

设复合控制系统如下图所示，图中，$G_n(s)$为顺馈装置传递函数；$G_c(s)=K_{t}s$，为测速发电机及分压器的传递函数；$G_1(s)=K_1；G_2(s)=1/s^2$。确定$K_1，G_n(s)$及$G_c(s)$，使系统输出量完全不受扰动$n(t)$的影响，且单位阶跃响应超调量$\sigma \%=25\%$，峰值时间$t_p=2$。

解：

由图可得，为使系统输出完全不受扰动影响，应使
$$1+\frac{G_n{G}_2}{1+G_1{G}_2{G}_c}=0$$
即
$$G_n=-\frac{1+G_1{G}_2{G}_c}{G_2}=-s(s+K_1{K}_t)$$
系统对输入的开环传递函数为：
$$G(s)=\frac{G_1{G}_2}{1+G_1{G}_2{G}_c}=\frac{K_1}{s(s+K_1{K}_t)}=\frac{{\omega }_n^2}{s(s+2\zeta {\omega }_n)}$$
题意要求：
$$\sigma \%={\mathrm{e}}^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%=0.25，t_p=\frac{\pi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}=2$$
解得：
$$\zeta =\frac{\ln 4}{\sqrt{{\pi }^2+(\ln 4{)}^2}}=0.404，{\omega }_n=\frac{\pi }{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}=1.717$$
因此，可得：
$$K_1={\omega }_n^2=2.948，K_t=\frac{2\zeta {\omega }_n}{K_1}=0.471$$
有：
$$G_c(s)=K_{t}s=0.471s，G_n(s)=-s(s+K_1{K}_t)=-s(s+1.389)$$

Example 6.14

已知某最小相位系统开环对数幅频渐近特性曲线如下图所示，写出开环传递函数$G_0(s)$一种可能的形式；

解：

由系统的开环对数幅频渐近特性曲线可知，系统的开环传递函数为：
$$G_0(s)=\frac{K\left(\frac{1}{{\omega }_2}s+1\right)}{s{\left(\frac{1}{{\omega }_1}s+1\right)}^2\left(\frac{1}{50}s+1\right)}$$
由系统开环对数幅频渐近特性曲线的几何特性可得：
$$\begin{array}{rl}& 20\lg \frac{K}{0.2}=20\Rightarrow K=2，20\lg \frac{{\omega }_c}{0.2}=20\Rightarrow {\omega }_c=2\\ & \\ & 20\lg \frac{{\omega }_1}{{\omega }_c}=10\Rightarrow {\omega }_1=6.32，60\lg \frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}=30\Rightarrow {\omega }_2=20\end{array}$$
故系统的开环传递函数为：
$$G_0(s)=\frac{2\left(\frac{1}{20}s+1\right)}{s{\left(\frac{1}{6.32}s+1\right)}^2\left(\frac{1}{50}s+1\right)}$$

Example 6.15

设单位反馈系统的开环传递函数为：$G_0(s)=\frac{4K}{s(s+2)}$，设计一串联校正装置，使系统满足下列性能指标：

1. 在单位斜坡输入下的稳态误差$e_{ss}(\infty )=0.05$；
2. 相角裕度$\gamma \ge 45°$；幅值裕度$h(\mathrm{dB})\ge 10\mathrm{dB}$；

解：

待校正系统的开环传递函数为：
$$G_0(s)=\frac{2K}{s(0.5s+1)}$$
有
$$K_v=2K$$
由系统在单位斜坡输入下的稳态误差要求：$e_{ss}(\infty )=\frac{1}{K_v}=0.05$，可得$K_v=20$；故取$K=10$.

则待校正系统的传递函数为：
$$G_0(s)=\frac{20}{s(0.5s+1)}$$

1. 绘制待校正系统的对数幅频渐近特性曲线。

   待校正系统的对数幅频渐近特性曲线如$L^{\prime }(\omega )$所示，由图可知，待校正系统的截止频率${\omega }_c^{\prime }=6.32rad/s$，计算待校正系统的相角裕度为：
   $${\gamma }^{\prime }={180°-90°-\arctan 0.5{\omega }_c^{\prime }|}_{{\omega }_c^{\prime }=6.32}=17.56°$$
   表明待校正系统稳定，考虑采用超前校正.

2. 确定超前校正网络参数$a$和$T$。

   选取${\omega }_c^{\prime \prime }=10rad/s$时，由图可测得$L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=-7.96\mathrm{dB}$；由$10\lg a=-L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })$，解得：$a=6.25$。

   令$T=\frac{1}{{\omega }_c^{\prime \prime }\sqrt{a}}$，求得：$T=0.04$。

   串联超前校正网络的对数开环幅频渐近特性曲线如$L_c(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$a{G}_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}=\frac{1+0.25s}{1+0.04s}$$
   将放大器增益提高$a$倍，校正后系统的对数幅频渐近特性曲线如$L^{\prime \prime }(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$a{G}_c(s)G_0(s)=\frac{20(0.25s+1)}{s(0.5s+1)(0.04s+1)}$$

3. 验算性能指标。
   $$\begin{array}{rl}{\gamma }^{\prime \prime }& =180°+\angle a{G}_c(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })G_0(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })\\ & \\ & =90°+{(\arctan 0.25{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.5{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.04{\omega }_c^{\prime \prime })|}_{{\omega }_c^{\prime \prime }=10}\\ & \\ & =57.71°>45°\end{array}$$
   因为：
   $$\phi (\omega )=\arctan 0.25\omega -90°-\arctan 0.5\omega -\arctan 0.04\omega >-180°$$
   故幅值裕度$h(\mathrm{dB})\to \infty$，所以各项性能指标均满足要求.

4. 对数幅频渐近特性曲线。
   

Example 6.16

设单位反馈系统的开环传递函数为：$G_0=\frac{K{\mathrm{e}}^{-0.01s}}{s(0.1s+1)(0.01s+1)}$，若要求系统的相角裕度$\gamma ({\omega }_c)=45°$， 稳态误差$e_{ss}(\infty )=0.01$，确定串联校正装置的形式与参数.

解：

由要求系统的稳态误差$e_{ss}(\infty )=0.01$，即$K_v=100$，故取$K=100$，则待校正系统的传递函数为：
$$G_0=\frac{100{\mathrm{e}}^{-0.01s}}{s(0.1s+1)(0.01s+1)}$$

1. 绘制待校正系统的对数幅频渐近特性曲线。

   待校正系统的对数幅频渐近特性曲线如$L^{\prime }(\omega )$所示，由图可得，待校正系统的截止频率${\omega }_c^{\prime }=31.62rad/s$，计算待校正系统的相角裕度为：
   $${\gamma }^{\prime }={(90°-0.01\times 57.3°{\omega }_c^{\prime }-\arctan 0.1{\omega }_c^{\prime }-\arctan 0.01{\omega }_c^{\prime })|}_{{\omega }_c^{\prime }=31.62}=-18.12°$$
   表明待校正系统不稳定，考虑采用滞后校正.

2. 确定滞后网络参数$b$和$T$。

   选取${\omega }_c^{\prime \prime }=2rad/s$时，由图可测得：$L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=33.98\mathrm{dB}$，由$20\lg b=-L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })$，解得：$b=0.02$。

   校正后系统的相角裕度为：
   $$\begin{array}{r}{\gamma }^{\prime \prime }=(90°+\arctan 0.02T{\omega }_c^{\prime \prime }-0.01\times 57.3°{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.1{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.01{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan T{\omega }_c^{\prime \prime })=45°\end{array}$$
   解得：
   $$T=39.86或T=0.312$$
   若$T=0.312$，由图可知${\omega }_c^{\prime \prime }>2rad/s$，故取$T=39.86$。

   则串联滞后校正网络的对数幅频特性曲线$L_c(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}=\frac{1+0.8s}{1+39.86s}$$
   校正后系统的开环对数幅频渐近特性曲线$L^{\prime \prime }(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$G_c(s)G_0(s)=\frac{100(0.8s+1){\mathrm{e}}^{-0.01s}}{s(0.1s+1)(0.01s+1)(39.86s+1)}$$

3. 验算性能指标。
   $$\begin{array}{rl}{\gamma }^{\prime \prime }& =180°+\angle G_c(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })G_0(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })\\ & \\ & =90°+(\arctan 0.8{\omega }_c^{\prime \prime }-0.01\times 57.3°{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.1{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.01{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 39.86{\omega }_c^{\prime \prime })\\ & \\ & =45.1°\end{array}$$

4. 对数幅频渐近特性曲线。