自动控制原理7.5：离散系统的稳定性与稳态误差

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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5.离散系统的稳定性与稳态误差

5.1 $s$域到$z$域的映射

在$z$变换定义中，$z={\mathrm{e}}^{sT}$给出了$s$域到$z$域的关系，$s$域中的任意点可表示为$s=\sigma +\mathrm{j}\omega$，映射到$z$域为：
$$z={\mathrm{e}}^{(\sigma +\mathrm{j}\omega )T}={\mathrm{e}}^{\sigma T}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega T}$$
$s$域到$z$域的基本映射关系为：
$$|z|={\mathrm{e}}^{\sigma T}，\angle z=\omega T$$
令$\sigma =0$，相当于取$s$平面的虚轴，当$\omega \to -\infty$变到$\infty$时，映射到$z$平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆。

当$s$平面上的点沿虚轴从$-\infty$移到$\infty$时，$z$平面上的相应点已经沿着单位圆转过了无穷多圈；因为当$s$平面上的点沿虚轴从$-{\omega }_s/2$移动到${\omega }_s/2$时，其中${\omega }_s$为采样角频率，$z$平面上的相应点沿单位圆从$-\pi$逆时针变化到$\pi$，正好转了一圈；当$s$平面上的点在虚轴上从${\omega }_s/2$移动到$3{\omega }_s/2$时，$z$平面上的相应点将逆时针沿单位圆转过一圈。

由上图可知，把$s$平面划分为无穷多条平行于实轴的周期带，其中从$-{\omega }_s/2$到${\omega }_s/2$的周期带称为主要带，其余的周期带称为次要带；

研究$s$平面上的主要带在$z$平面上的映射，进行如下讨论：

1. 等$\sigma$线映射

   $s$平面上的等$\sigma$垂线，映射到$z$平面上的轨迹，是以原定为圆心，以$|z|={\mathrm{e}}^{\sigma T}$为半径的圆，其中：$T$为采样周期。

   

   $s$平面上的虚轴映射为$z$平面上的单位圆，因此，左半$s$平面上的等$\sigma$线映射为$z$平面上的同心圆，在单位圆内；右半$s$平面上的等$\sigma$线映射为$z$平面上的同心圆，在单位圆外；

2. 等$\omega$线映射

   在特定采样周期$T$情况下，$s$平面上的等$\omega$水平线映射到$z$平面上的轨迹，是一簇从原点出发的射线，其相角$\angle z=\omega T$从正实轴计量，如下图所示：

   

   $s$平面上$\omega ={\omega }_s/2$水平线，在$z$平面上正好映射为负实轴；

3. 等$\zeta$线映射

   $s$平面上的等$\zeta$线用下式描述：
   $$s=-\omega \tan \beta +\mathrm{j}\omega$$
   其中：$\beta$为$\zeta$线与虚轴之间的夹角；
   $$z={\mathrm{e}}^{sT}={\mathrm{e}}^{(\omega \tan \beta +\mathrm{j}\omega )T}$$
   等$\zeta$线从$s$域到$z$域的映射关系式为：
   $$|z|={\mathrm{e}}^{-(2\pi /{\omega }_s)\omega \tan \beta },\angle z=\frac{2\pi \omega }{{\omega }_s}$$
   除$\beta =0°$和$\beta =90°$外，当$\beta$为常数时，左半$s$平面上的等$\zeta$线，映射为$z$平面上单位圆内一簇收敛的对数螺旋线，其起点为$z$平面上正实轴的$1$处，终点为$z$平面的原点；

   

   设$s$平面上的主要带如下图所示，通过$z={\mathrm{e}}^{sT}$变换，映射为$z$平面上的单位圆及单位圆内的负实轴，如下图所示：

   

   $s$平面上所有的次要带，在$z$平面上映射为相同的单位圆及单位圆内的负实轴；

5.2 离散系统稳定的充分必要条件

定义：若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的；

在线性定常连续系统中，系统稳定的充分必要条件是：系统齐次微分方程的解是收敛的，或系统特征方程式的根均具有负实部，或系统传递函数的极点均位于左半$s$平面；

1. 时域中离散系统稳定的充分必要条件

   设线性定常差分方程为：
   $$c(k)=-\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k-i)+\sum _{j=0}^m{b}_{j}r(k-j)$$
   其齐次差分方程为：
   $$c(k)+\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k-i)=0$$
   差分方程的特征方程为：
   $${\alpha }^n+a_1{\alpha }^{n-1}+a_2{\alpha }^{n-2}+\cdots +a_n=0$$
   当特征方程的根$|{\alpha }_i|<1(i=1,2,\dots ,n)$时，必有：$\underset{k\to \infty }{\lim }c(k)=0$，因此，系统稳定的充分必要条件是：当且仅当差分方程所有特征根的模$|{\alpha }_i|<1(i=1,2,\dots ,n)$，相应的线性定常离散系统是稳定的；

2. $z$域中离散系统稳定的充分必要条件

   设典型离散系统结构图若下图所示：

   

   其特征方程为：
   $$D(z)=1+GH(z)=0$$
   不失一般性，设特征方程的根或闭环脉冲传递函数的极点为各不相同的$z_1,z_2,\dots ,z_n$；由$s$域到$z$域的映射关系可知：$s$左半平面映射为$z$平面上的单位圆内的区域，对应稳定区域；$s$右半平面映射为$z$平面上的单位圆外的区域，对应不稳定区域；$s$平面上的虚轴，映射为$z$平面上的单位圆周，对应临界稳定情况。

   $z$域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件：当且仅当离散系统特征方程的全部特征根均分布在$z$平面上的单位圆内，或所有特征根的模均小于$1$，即$|z_i|<1(i=1,2,\dots ,n)$，相应的线性定常离散系统是稳定的；

3. 实例分析

   实例分析：

   $Example1：$ 设离散系统可用如下差分方程描述：
   $$c(n+1)-ac(n)=br(n),c(0)\ne 0$$
   分析系统稳定的充分必要条件。

   解：

   给定系统相应的齐次方程为：
   $$c(n+1)-ac(n)=0$$
   利用迭代法，求出通解：
   $$c(n+1)=a^{n+1}c(0)$$
   因为$c(0)\ne 0$，因此当$|a|<1$时，才有$\underset{k\to \infty }{\lim }c(n)=0$；

   因此，系统稳定的充分必要条件是$|a|<1$。

   实例分析：

   $Example2：$ 设离散系统如下图所示，分析系统的稳定性，其中：$T=1$。

   

   解：

   开环脉冲传递函数为：
   $$G(z)=\frac{10(1-{\mathrm{e}}^{-1})z}{(z-1)(z-{\mathrm{e}}^{-1})}$$
   闭环特征方程为：
   $$1+G(z)=1+\frac{10(1-{\mathrm{e}}^{-1})z}{(z-1)(z-{\mathrm{e}}^{-1})}=0$$
   即：
   $$z^2+4.952z+0.368=0$$
   解出特征方程的根：
   $$z_1=-0.076，z_2=-4.876$$
   因为$|z_2|>1$，因此该离散系统不稳定。

5.3 离散系统的稳定性判据

1. $w$变换与劳斯稳定判据

   令
   $$z=\frac{w+1}{w-1}\Rightarrow w=\frac{z+1}{z-1}$$
   上两式表明：复变量$z$与$w$互为线性变换，$w$变换称为双线性变换。

   $z$平面与$w$平面的对应关系如下图所示：

   

   $w$平面的虚轴对应$z$平面上的单位圆周；左半$w$平面对应于$z$平面上单位圆内的区域；右半$w$平面对应$z$平面上单位圆外的区域；

   离散系统稳定的充分必要条件：由特征方程$1+GH(z)=0$的所有根位于$z$平面上的单位圆内转换为特征方程$1+GH(w)=0$的所有根位于左半$w$平面；

   实例分析：

   $Example3：$ 设闭环离散系统如下图所示，采样周期$T=0.1\mathrm{s}$，求系统稳定时$K$的临界值。

   

   解：

   $G(s)$的$z$变换：

$$G(z)=\frac{0.632Kz}{z^2-1.368z+0.368}$$

闭环脉冲传递函数为：
$$\Phi (z)=\frac{G(z)}{1+G(z)}$$
闭环特征方程为：
$$1+G(z)=z^2+(0.632K-1.368)z+0.368=0$$
令$z=(w+1)/(w-1)$，可得：
$${\left(\frac{w+1}{w-1}\right)}^2+(0.632K-1.368)\left(\frac{w+1}{w-1}\right)+0.368=0$$
化简可得$w$域特征方程：
$$0.632K{w}^2+1.264w+(2.736-0.632K)=0$$
列出劳斯表：

为保证系统稳定，必须使$K>0$和$2.736-0.632K>0$，即$K<4.33$；

因此，系统稳定的临界增益为：$K_c=4.33$；

2. 朱利稳定判据

   朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程$D(z)=0$的系数，判别其根是否位于$z$平面上的单位圆内，从而判断该离散系统是否稳定。

   设离散系统$n$阶闭环特征方程为：
   $$D(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n=0,a_n>0$$
   按照下述方法构造$(2n-3)$行、$(n+1)$列朱利阵列。

   $行数$	$z^0$	$z^1$	$z^2$	$z^3$	$\dots$	$z^{n-k}$	$\dots$	$z^{n-1}$	$z^n$
   $1$	$a_0$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$\dots$	$a_{n-k}$	$\dots$	$a_{n-1}$	$a_n$
   $2$	$a_n$	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	$a_{n-3}$	$\dots$	$a_k$	$\dots$	$a_1$	$a_0$
   $3$	$b_0$	$b_1$	$b_2$	$b_3$	$\dots$	$b_{n-k}$	$\dots$	$b_{n-1}$
   $4$	$b_{n-1}$	$b_{n-2}$	$b_{n-3}$	$b_{n-4}$	$\dots$	$b_{k-1}$	$\dots$	$b_0$
   $5$	$c_0$	$c_1$	$c_2$	$c_3$	$\dots$	$c_{n-2}$
   $6$	$c_{n-2}$	$c_{n-3}$	$c_{n-4}$	$c_{n-5}$	$\dots$	$c_0$
   $⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
   $2n-5$	$p_0$	$p_1$	$p_2$	$p_3$
   $2n-4$	$p_3$	$p_2$	$p_1$	$p_0$
   $2n-3$	$q_0$	$q_1$	$q_2$

   其中：
   $$\begin{array}{rl}& b_k=\left|\begin{array}{cc}{a}_0& a_{n-k}\\ a_n& a_k\end{array}\right|，k=0,1,2,\dots ,n-1；c_k=\left|\begin{array}{cc}{b}_0& b_{n-k-1}\\ b_{n-1}& b_k\end{array}\right|，k=0,1,2,\dots ,n-2\\ & \\ & d_k=\left|\begin{array}{cc}{c}_0& c_{n-k-2}\\ c_{n-2}& c_k\end{array}\right|，k=0,1,2,\dots ,n-3；\cdots ；q_0=\left|\begin{array}{cc}{p}_0& p_3\\ p_3& p_0\end{array}\right|，q_1=\left|\begin{array}{cc}{p}_0& p_2\\ p_3& p_1\end{array}\right|，q_2=\left|\begin{array}{cc}{p}_0& p_1\\ p_3& p_2\end{array}\right|\end{array}$$

   朱利稳定判据：

   特征方程$D(z)=0$的根，全部位于$z$平面上单位圆内的充分必要条件是：
   $$D(1)>0，D(-1)\{\begin{array}{l}>0，当n为偶数时\\ <0，当n为奇数时\end{array}$$
   及以下$n-1$个约束条件成立：
   $$|a_0|<a_n,|b_0|>|b_{n-1}|,|c_0|>|c_{n-2}|,|d_0|>|d_{n-3}|,\dots ,|q_0|>|q_2|$$
   实例分析：

   $Example4：$ 已知离散系统闭环特征方程为：
   $$D(z)=z^4-1.368z^3+0.4z^2+0.08z+0.002=0$$
   用朱利稳定判据判断系统的稳定性。

   解：

   由于$n=4,2n-3=5$，因此朱利阵列有$5$行$5$列；

   依题意可知，$a_0=0.002,a_1=0.08,a_2=0.4,a_3=-1.368,a_4=1$；

   计算朱利阵列元素：
   $$\begin{array}{rlrlrl}& b_0=\left|\begin{array}{cc}{a}_0& a_4\\ a_4& a_0\end{array}\right|=-1,& & b_1=\left|\begin{array}{cc}{a}_0& a_3\\ a_4& a_1\end{array}\right|=1.368,& & b_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_0& a_2\\ a_4& a_2\end{array}\right|=-0.399\\ & & & & & \\ & b_3=\left|\begin{array}{cc}{a}_0& a_1\\ a_4& a_3\end{array}\right|=-0.082,& & c_0=\left|\begin{array}{cc}{b}_0& b_3\\ b_3& b_0\end{array}\right|=0.993,& & c_1=\left|\begin{array}{cc}{b}_0& b_2\\ b_3& b_1\end{array}\right|=-1.401\\ & & & & & \\ & c_2=\left|\begin{array}{cc}{b}_0& b_1\\ b_3& b_2\end{array}\right|=0.511& & & & \end{array}$$
   朱利阵列如下：

   $行数$	$z^0$	$z^1$	$z^2$	$z^3$	$z^4$
   $1$	$0.002$	$0.08$	$0.4$	$-1.368$	$1$
   $2$	$1$	$-1.368$	$0.4$	$0.08$	$0.002$
   $3$	$-1$	$1.368$	$-0.399$	$-0.082$
   $4$	$-0.082$	$-0.399$	$1.368$	$-1$
   $5$	$0.993$	$-1.401$	$-1.511$

   因为：
   $$D(1)=0.114>0，D(-1)=2.69>0$$

   $$\begin{array}{rlrlrl}& |a_0|=0.002,& & |a_4|=1，& & 满足|a_0|<a_4\\ & & & & & \\ & |b_0|=1,& & |b_3|=0.082，& & 满足|b_0|>|b_3|\\ & & & & & \\ & |c_0|=0.993,& & |c_2|=0.511,& & 满足|c_0|>|c_2|\end{array}$$

   由朱利判据可知，该离散系统是稳定的。

5.4 采样周期与开环增益对稳定性的影响

• 当采样周期一定时，加大开环增益会使离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定；
• 当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息越多，对离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至可使系统失去稳定性；

5.5 离散系统的稳态误差

设单位反馈误差采样系统如下图所示：

其中：$G(s)$为连续部分的传递函数，$e(t)$为系统连续误差信号，$e^{\ast }(t)$为系统采样误差信号，其$z$变换为：
$$E(z)=R(z)-C(z)=[1-\Phi (z)]R(z)={\Phi }_e(z)R(z)$$
其中：
$${\Phi }_e(z)=\frac{E(z)}{R(z)}=\frac{1}{1+G(z)}$$
如果${\Phi }_e(z)$的极点全部位于$z$平面上的单位圆内，即若离散系统是稳定的，可用$z$变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差：
$$e_{ss}(\infty )=\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{\ast }(t)=\underset{z\to 1}{\lim }(1-z^{-1})E(z)=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{(z-1)R(z)}{z[1+G(z)]}$$
上式表明，线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数有关，且与输入序列的形式及幅值有关；$G(z)$还与采样周期$T$有关，因此离散系统的稳态误差值与采样周期的选取也有关；

实例分析：

$Example5：$ 设离散系统如下图所示，其中$G(s)=1/s(0.1s+1),T=0.1s$，输入连续信号$r(t)$分别为$1(t)$和$t$，求离散系统相应的稳态误差。

解：

$G(s)$相应的$z$变换：
$$G(z)=\frac{z(1-{\mathrm{e}}^{-1})}{(z-1)(z-{\mathrm{e}}^{-1})}$$
系统误差脉冲传递函数：
$${\Phi }_e(z)=\frac{1}{1+G(z)}=\frac{(z-1)(z-0.368)}{z^2-0.736z+0.368}$$
闭环极点为：
$$z_1=0.368+\mathrm{j}0.482，z_2=0.368-\mathrm{j}0.482$$
全部位于$z$平面上的单位圆内，因此可以应用终值定理方法求稳态误差。

当$r(t)=1(t)$，相应$r(nT)=1(nT)$时，$R(z)=z/(z-1)$，可得：
$$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{(z-1)(z-0.368)}{z^2-0.736z+0.368}=0$$
当$r(t)=t$，相应$r(nT)=nT$时，$R(z)=Tz/(z-1{)}^2$，可得：
$$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{T(z-0.368)}{z^2-0.736z+0.368}=T=0.1$$

5.6 离散系统的型别与静态误差系数

在离散系统中，把开环脉冲传递函数$G(z)$具有$z=1$的极点数$\nu$作为划分离散系统型别的标准，把$G(z)$中$\nu =0,1,2,\dots$的系统，称为$0$型、Ⅰ型和Ⅱ型离散系统等；

1. 单位阶跃输入时的稳态误差

   当系统输入为单位阶跃函数$r(t)=1(t)$时，$z$变换函数为：
   $$R(z)=\frac{z}{z-1}$$
   稳态误差为：
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{1}{1+G(z)}=\frac{1}{\underset{z\to 1}{\lim }[1+G(z)]}=\frac{1}{K_p}$$
   其中静态位置误差系数为：
   $$K_p=\underset{z\to 1}{\lim }[1+G(z)]$$
   在单位阶跃函数作用下，$0$型离散系统在采样瞬时存在位置误差，Ⅰ型及Ⅰ型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差；

2. 单位斜坡输入时的稳态误差

   当系统输入为单位斜坡函数$r(t)=t$时，$z$变换函数为：
   $$R(z)=\frac{Tz}{(z-1{)}^2}$$
   稳态误差为：
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{T}{(z-1)[1+G(z)]}=\frac{T}{\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)G(z)}=\frac{T}{K_v}$$
   其中静态速度误差系数为：
   $$K_v=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)G(z)$$
   $0$型离散系统不能承受单位斜坡函数作用，Ⅰ型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差，Ⅱ型及Ⅱ型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差；

3. 单位加速度输入时的稳态误差

   当系统输入为单位加速度函数$r(t)=t^2/2$时，$z$变换函数为：
   $$R(z)=\frac{T^{2}z(z+1)}{2(z-1{)}^3}$$
   稳态误差为：
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{T^2(z+1)}{2(z-1{)}^2[1+G(z)]}=\frac{T^2}{\underset{z\to 1}{\lim }(z-1{)}^{2}G(z)}=\frac{T^2}{K_a}$$
   其中静态加速度误差系数为：
   $$K_a=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1{)}^{2}G(z)$$
   $0$型和Ⅰ型离散系统不能承受单位加速度函数作用，Ⅱ型离散系统在单位加速度函数作用下存在加速度误差，Ⅲ型及Ⅲ型以上的离散系统在单位加速度函数作用下，不存在采样瞬时的稳态误差；

   单位反馈离散系统的稳态误差小结：

   $系统类型$	$位置误差r(t)=1(t)$	$速度误差r(t)=t$	$加速度误差r(t)=\frac{1}{2}{t}^2$
   $0型$	$\frac{1}{K_p}$	$\infty$	$\infty$
   Ⅰ$型$	$0$	$\frac{T}{K_v}$	$\infty$
   Ⅱ$型$	$0$	$0$	$\frac{T^2}{K_a}$
   Ⅲ$型$	$0$	$0$	$0$