自动控制原理6.1：系统的设计与校正问题

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.系统的设计与校正问题

1.1 性能指标

• 校正：在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标；

• 在控制系统设计中，采用的设计方法一般依据性能指标的形式而定

  • 如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调节时间、超调量、阻尼比、稳态误差等时域特征量给出，一般采用时域法校正；
  • 如果性能指标以系统的相角裕度、幅值裕度、谐振峰值、闭环带宽、静态误差系数等频域特征量给出，一般采用频率法校正；

• 二阶系统频域指标与时域指标的关系：

  • 谐振峰值：
    $$M_r=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}，\zeta \le 0.707$$

  • 谐振频率：
    $${\omega }_r={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}，\zeta \le 0.707$$

  • 带宽频率：
    $${\omega }_b={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2+\sqrt{2-4{\zeta }^2+4{\zeta }^4}}$$

  • 截止频率：
    $${\omega }_c={\omega }_n\sqrt{\sqrt{1+4{\zeta }^4}-2{\zeta }^2}$$

  • 相角裕度：
    $$\gamma =\arctan \frac{2\zeta }{\sqrt{\sqrt{1+4{\zeta }^4}-2{\zeta }^2}}$$

  • 超调量：
    $$\sigma \%={\mathrm{e}}^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%$$

  • 调节时间：
    $$t_s=\frac{3.5}{\zeta {\omega }_n}(\Delta =5\%)或t_s=\frac{4.4}{\zeta {\omega }_n}(\Delta =2\%)$$

• 高阶系统频域指标与时域指标的关系：

  • 谐振峰值：
    $$M_r=\frac{1}{|\sin \gamma |}$$

  • 超调量：
    $$\sigma =0.16+0.4(M_r-1)，1\le M_r\le 1.8$$

  • 调节时间：
    $$t_s=\frac{K_0\pi }{{\omega }_c}(\Delta =5\%)；K_0=2+1.5(M_r-1)+2.5(M_r-1{)}^2，1\le M_r\le 1.8$$

1.2 系统带宽的确定

• 在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号，噪声信号一般是高频信号；

• 为了使系统能够准确复现输入信号，要求系统具有较大的带宽；从抑制噪声角度看，又不希望系统的带宽过大；

• 一个设计良好的实际运行系统，其相角裕度具有$45°$左右的数值；过低于此值，系统的动态性能较差，且对参数变化的适应能力较弱；过高于此值，意味着对整个系统及其组成部件要求较高，造成实现上的困难，或因此不满足经济性要求；同时由于稳定程度过好，造成系统动态过程缓慢；

• 如果输入信号的带宽为$0～{\omega }_M$，噪声信号集中起作用的频带为${\omega }_1～{\omega }_n$，则控制系统的带宽频率通常取
  $${\omega }_b=(5～10){\omega }_M$$
  且使${\omega }_1～{\omega }_n$处于$0～{\omega }_b$范围外；

1.3 校正方式

• 按照校正装置在系统中的连接方式，控制系统校正方式分为：串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正；

  • 串联校正：装置一般接在误差测量点后放大器前，串接于系统前向通道之中；反馈校正：装置接在系统局部反馈通路之中；

    

  • 前馈校正(顺馈校正)：在系统主反馈回路之外采用的校正方式；前馈校正装置接在系统给定值后及主反馈作用点前的前向通道上；

    

    • 图$(a)$：这种校正装置作用相当于对给定值信号进行整形或滤波后，再送入反馈系统，因此亦称前置滤波器；
    • 图$(b)$：这种校正装置接在系统可测扰动作用点与误差测量点之间，对扰动信号进行直接或间接测量，经变换后接入系统，形成一条附加的对扰动影响进行补偿的通道；

  • 复合校正：在反馈控制回路中，加入前馈校正通路，组成一个有机整体，结构如下图两种形式。

    

• 控制系统设计中，常用的校正方式为：串联校正、反馈校正和前馈校正；

• 在直流控制系统中，由于传递直流电压信号，宜采用串联校正；在交流载波控制系统中，如果采用串联校正，一般应接在解调器和滤波器后，否则由于参数变化和载频漂移，校正装置的工作稳定性很差；

• 串联校正装置分为：无源和有源两类；

  • 无源：无源串联校正装置通常由$\mathrm{RC}$无源网络构成，结构简单，成本低廉，但会使信号在变换过程中产生幅值衰减，且其输入阻抗较低，输出阻抗较高，因此常常需要附加放大器，以补偿其幅值衰减，并进行阻抗匹配；为了避免功率损耗，无源串联校正装置通常安置在前向通路中能量较低的部位上；
  • 有源：有源串联校正装置由运算放大器和$\mathrm{RC}$网络组成，其参数可以根据需要调整，在工业自动化设备中，常采用由电动(或气动)单元构成的$\mathrm{PID}$控制器，由比例单元、微分单元、积分单元组合而成，可以实现各种要求的控制规律；

• 反馈信号通常由系统输出端或放大器输出级供给，信号是从高功率点传向低功率点；

1.4 基本控制规律

1. 比例($\mathrm{P}$)控制规律

   • 具有比例控制规律的控制器，称为P控制器，$K_p$称为P控制器增益；
   • P控制器实质是一个具有可调增益的放大器；在信号变换过程，只改变信号的增益而不影响其相位；
   • 在串联校正中，加大控制器增益$K_p$，可以提高系统的开环增益，减小系统稳态误差，从而提高系统的控制精度，但会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统不稳定；

2. 比例-微分($\mathrm{PD}$)控制规律

   • 具有比例-微分控制规律的控制器，称为$\mathrm{PD}$控制器；

   • 输出$m(t)$与输入$e(t)$的关系：
     $$m(t)=K_{p}e(t)+K_p\tau \frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t}$$
     其中：$K_p$为比例系数；$\tau$为微分时间常数；$K_p、\tau$均可调；

   • $\mathrm{PD}$控制器中的微分控制规律，能反映输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性；

   • 在串联校正时，可使系统增加一个$-1/\tau$的开环零点，使系统的相角裕度提高，有助于系统动态性能的改善；

     实例分析：

     $Example1：$ 设比例-微分控制系统如下图所示，试分析$\mathrm{PD}$控制器对系统性能的影响。

     

     解：

     无$\mathrm{PD}$控制器时，系统闭环特征方程为：
     $$J{s}^2+1=0$$
     系统阻尼比等于$0$，其输出$c(t)$具有不衰减的等幅振荡形式，系统处于临界稳定状态，即实际不稳定状态；

     接入$\mathrm{PD}$控制器后，闭环系统特征方程为：
     $$J{s}^2+K_p\tau s+K_p=0$$
     阻尼比为：$\zeta =\tau \sqrt{K_p}/(2\sqrt{J})>0$，闭环系统稳定；

     $\mathrm{PD}$控制器提供系统的阻尼程度通过参数$K_p、\tau$来调整；

     注：微分控制作用只对动态过程起作用，对稳态过程没有影响，且对系统噪声非常敏感；

3. 积分($\mathrm{I}$)控制器

   • 具有积分控制规律的控制器称为$\mathrm{I}$控制器；

   • $\mathrm{I}$控制器的输出信号$m(t)$与其输入信号$e(t)$的积分成正比，
     $$m(t)=K_i{\int }_0^{t}e(t)\mathrm{d}t$$
     其中：$K_i$为可调系数；

   • 由于$\mathrm{I}$控制器的积分作用，当其输入$e(t)$消失后，输出信号$m(t)$有可能是一个不为零的常量；

   • 在串联校正时，采用I控制器可以提高系统的型别，有利于系统稳态性能的提高，但积分控制使系统增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生$90°$的相角滞后，对系统的稳定性不利；

4. 比例-积分($\mathrm{PI}$)控制规律

   • 具有比例-积分控制规律的控制器称为$\mathrm{PI}$控制器；

   • $\mathrm{PI}$控制器输出信号$m(t)$同时成比例地反映输出信号$e(t)$及其积分，有：
     $$m(t)=K_{p}e(t)+\frac{K_p}{T_i}{\int }_0^{t}e(t)\mathrm{d}t$$
     其中：$K_p$为可调比例系数；$T_i$为可调积分时间常数；

   • 串联校正时，$\mathrm{PI}$控制器相当于在系统中增加一个位于原点的开环极点，同时增加了一个位于$s$左半平面的开环零点；位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；增加的负实零点用来减小系统的阻尼程度，缓和$\mathrm{PI}$控制器极点对系统稳定性及动态过程产生的不利影响；

   • 在控制工程中，$\mathrm{PI}$控制器主要用来改善系统的稳态性能；

   实例分析：

   $Example2：$ 设比例-积分控制系统如下图所示，其中不可变部分的传递函数为：
   $$G_0(s)=\frac{K_0}{s(Ts+1)}$$
   试分析$\mathrm{PI}$控制器对系统稳态性能的改善作用。

   

   解：

   系统不可变部分与$\mathrm{PI}$控制器串联后，开环传递函数为：
   $$G(s)=\frac{K_0{K}_p(T_{i}s+1)}{T_i{s}^2(Ts+1)}$$
   系统由原来的Ⅰ型提高的含$\mathrm{PI}$控制器时的Ⅱ型；

   若系统的输入信号为斜坡函数$r(t)=R_{1}t$，则在无$\mathrm{PI}$控制器时，系统的稳态误差为$R_1/K_0$；接入$\mathrm{PI}$控制器后，系统稳态误差为零；

   表明Ⅰ型系统采用$\mathrm{PI}$控制器后，可以消除系统对斜坡输入信号的稳态误差，控制准确度大为改善；

   采用$\mathrm{PI}$控制器后，系统特征方程为：
   $$T_{i}T{s}^3+T_i{s}^2+K_p{K}_0{T}_{i}s+K_p{K}_0=0$$
   其中：参数$T,T_i,K_0,K_p$都是正数，由劳斯判据可知，调整$\mathrm{PI}$控制器的积分时间常数$T_i$使其大于系统不可变部分的时间常数$T$，可以保证闭环系统的稳定性；

5. 比例-积分-微分($\mathrm{PID}$)控制规律

   • 具有比例-积分-微分控制规律的控制器称为$\mathrm{PID}$控制器；

   • $\mathrm{PID}$控制器运动方程为：
     $$m(t)=K_{p}e(t)+\frac{K_p}{T_i}{\int }_0^{t}e(t)\mathrm{d}t+K_p\tau \frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t}$$
     传递函数：
     $$G_c(s)=K_p(1+\frac{1}{T_{i}s}+\tau s)=\frac{K_p}{T_i}\cdot \frac{T_i\tau s^2+T_{i}s+1}{s}$$

   • 利用$\mathrm{PID}$串联时，可使系统的型别提高一级，还提供两个负实零点；与$\mathrm{PI}$控制器相比，$\mathrm{PID}$控制器具有提供系统的稳态性能优点，还多提供一个负实零点，从而在提高系统动态性能方面，具有更大的优越性；

   • 工业过程控制系统中，广泛使用$\mathrm{PID}$控制器，$\mathrm{PID}$控制器各部分参数的选择在系统现场调试中最后确定；

   • 通常，应使$Ⅰ$部分发生在系统频率特性的低频段，以提高系统的稳态性能，使$\mathrm{D}$部分发生在系统频率特性的中频段，以改善系统的动态性能；