基于遗传算法的BWM方法（最优最差方法）

目录

前言

BWM方法介绍

基本原理

权重计算

遗传算法

算法简介

原理

参考程序

程序测试

参考文献

前言

       荷兰学者 Jafar Rezaei 于 2015 年提出了一种新的多准则决策方法——最优最劣法（Best-worst Method），相较于层次分析法，该方法可以更为简便的确定出每一个准则的权重。本文将使用遗传算法来实现该方法。

BWM方法介绍

基本原理

        BWM方法在保留两两对比思想的前提下对层次分析法（AHP）进行了算法改进，不是直接比较所有成对指标，而是先判定最优、最劣指标，再分别比较最优指标和其余指标、其余指标和最劣指标的相对重要性程度。因此对于个指标来说，层次分析法需要个比较数据，而在 BWM 中，只需要将最优、最劣指标分别与个其余指标进行比较，得到个比较数据即可计算权重分布，基本原理如下图所示。

权重计算

        假设现在有个准则，即个评价对象：

其中，、分别表示最优准则和最差准则。

        将最优、最差准则分别与其他准则进行比较，将最优指标 对其余指标的相对重要性程度用 1-9 标度表示，得到评分向量：

显然，。

        再将最劣最劣（最不重要、最不理想）指标 相对于其余指标 的相对重要性程度用 1-9 标度表示，得到评分向量：

显然。

        在此规则下，所有的专家打分均大于或等于 1。

        设最优权重向量为：

        因此，最优化问题目标函数与约束条件如下：

        因此，使用遗传算法对一致性指标  的最小值进行优化，即可确定最优权重以及的对应的一致性指标。

遗传算法

总体思路

       首先要清楚一点，就是遗传算法是一种随机优化算法，用一组随机数带入适应度函数中计算，按照一定的规则进行多次迭代，最后在多个适应值中找到最大的一个。在本算法中，生成n个随机数，之和为1，当做权重来计算ξ，对结果进行取倒数操作，多次迭代后找到的最大值再取倒数之后就是最小值了。

算法简介

        遗传算法是模仿生物遗传学和自然选择机理，通过人工方式所构造的一类优化搜索算法，是对生物进化过程进行的一种数学仿真，是进化计算的最重要的形式。这是一种一种新的全局优化搜索算法，以其简单通用、鲁棒性强、适合并行处理及应用范围广等显著特点，奠定了它作为21世纪关键智能计算之一的地位。

原理

1. 编码与解码：将问题结构变换为位串形式编码表示的过程。本例中待优化参数有个，可以将每一个个体的二进制编码分为组，解码时对每一个参数单独解码即可

2. 适应度函数

（1）适应度(fitness)就是借鉴生物个体对环境的适应程度,而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。

（2）适应度函数(fitness function)就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。它一般是一个实值函数。该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数。

（3）体现染色体的适应能力，对问题中的每一个染色体都能进行度量的函数，叫适应度函数。

（4）对优化问题，适应度函数就是目标函数。

       在本例中所设计的适应度函数是计算一致性指标，对其进行取倒数操作，对倒数最大值的优化就是对一致性指标最小值的优化。          

3. 遗传、选择、交叉、变异

该部分的具体操作可以参考：

【精选】遗传算法原理及其matlab程序实现_遗传算法实例matlab-CSDN博客

参考程序

1. 主函数

clear;clc;close all
UnknowNum = input("需要优化的权重的数目为：");
mic = input("最优准则为：");
lic = input("最差准则为：");
popsize = 20;     %群体大小
PartLen = 7;    % 每一部分的码长(可以不改)
N = 20000;  % 遗传迭代次数chromlength = UnknowNum*PartLen; %字符串长度(个体长度)
pc = 0.6;         %交叉概率，只有在随机数小于pc时，才会产生交叉
pm = 0.001;       %变异概率
pop = initpop(popsize,chromlength);   %随机产生初始群体
VBi = repmat(mic,popsize,1);
VjW = repmat(lic,popsize,1);
Best = find(mic == 1,2);
Worst = find(lic == 1,2);
y = zeros(1,N);% 初始化
x = cell(1,N);
for i=1:N    % 遗传代数objvalue = calobjvalue(pop,PartLen,popsize, ...UnknowNum,Best,Worst,VBi,VjW);  %计算目标函数fitvalue = calfitvalue(objvalue);   %计算群体中每个个体的适应度newpop = selection(pop,fitvalue);   %复制newpop1 = crossover(newpop,pc);     %交叉newpop2 = mutation(newpop1,pm);     %变异objvalue = calobjvalue(newpop2,PartLen,popsize, ...UnknowNum,Best,Worst,VBi,VjW);    %计算目标函数fitvalue = calfitvalue(objvalue);   %计算群体中每个个体的适应度[bestindividual,bestfit]=best(newpop2,fitvalue);%求出群体中适应值最大的个体及其适应值y(i)=bestfit;    %返回的 y 是自适应度值，而非函数值x{i}=decode(bestindividual,UnknowNum,PartLen);%将自变量解码成十进制pop=newpop2;
end
[z,index]=max(y);
w = cell2mat(x(index));
for i=1:UnknowNumB(i) = abs(w(Best)./w(i)-VBi(i));W(i) = abs(w(i)./w(Worst)-VjW(i)); 
end
kesi = 1/max([B,W]);
disp("最优权重为：");
disp(w);
disp("最优一致性数量指标:");
disp(kesi);

2. 群体初始化

%初始化
function pop = initpop(popsize,chromlength) pop=round(rand(popsize,chromlength));
end

3. 适应度函数

%实现目标函数的计算，将二值域中的数转化为变量域的数
function objvalue = calobjvalue(pop,PartLen,popsize,UnknowNum,Best,Worst,VBi,VjW)       temp = zeros(popsize,UnknowNum);for i=1:UnknowNumtemp(:,i) = decodechrom(pop,PartLen*(i-1)+1,PartLen);%将pop每行的每一部分转化成十进制数endtemp = temp./repmat(sum(temp,2),1,UnknowNum); % 归一化d1 = abs((temp(:,Best)./temp)-VBi);d2 = abs((temp./temp(:,Worst))-VjW);dmax = max([d1,d2],[],2);objvalue = 1./dmax;  %计算目标函数值
end

4. 计算个体适应度

function fitvalue = calfitvalue(objvalue)[px,py]=size(objvalue);   %目标值有正有负for i=1:pxif objvalue(i)>0                    temp=objvalue(i);          elsetemp=0.0;endfitvalue(i)=temp;endfitvalue=fitvalue';
end

5. 选择

function newpop = selection(pop,fitvalue) 
[px,py] = size(pop);
totalfit=sum(fitvalue);     %求适应值之和
fitvalue=fitvalue/totalfit; %单个个体被选择的概率
fitvalue=cumsum(fitvalue);    
ms=sort(rand(px,1));    %从小到大排列
fitin=1;
newin=1;
while newin<=px if(ms(newin))<fitvalue(fitin)newpop(newin,:)=pop(fitin,:);newin=newin+1;elsefitin=fitin+1;end
end

6. 交叉

function newpop = crossover(pop,pc)  [px,py]=size(pop);newpop=ones(size(pop));for i=1:2:px-1      if(rand<pc)cpoint=round(rand*py);newpop(i,:)=[pop(i,1:cpoint),pop(i+1,cpoint+1:py)];newpop(i+1,:)=[pop(i+1,1:cpoint),pop(i,cpoint+1:py)];elsenewpop(i,:)=pop(i,:);newpop(i+1,:)=pop(i+1,:);endend
end

7. 变异

function newpop = mutation(pop,pm)[px,py]=size(pop);newpop=ones(size(pop));for i=1:pxif(rand<pm)mpoint=round(rand*py);     %产生的变异点在1-10之间if mpoint<=0mpoint=1;                         %变异位置endnewpop(i,:)=pop(i,:);if any(newpop(i,mpoint))==0newpop(i,mpoint)=1;elsenewpop(i,mpoint)=0;endelsenewpop(i,:)=pop(i,:);endend
end

8. 群体最大适应值及个体

function [bestindividual,bestfit]=best(pop,fitvalue)
[px,py]=size(pop);
bestindividual=pop(1,:);
bestfit=fitvalue(1);
for i=2:pxif fitvalue(i)>bestfitbestindividual=pop(i,:);bestfit=fitvalue(i);end
end

9. 染色体解码

function pop2=decodechrom(pop,spoint,length)%1  10pop1=pop(:,spoint:spoint+length-1);pop2=decodebinary(pop1);
end

解码子函数

function pop2=decodebinary(pop)
[px,py]=size(pop);     %求pop行和列数
for i=1:py
pop1(:,i)=2.^(py-i).*pop(:,i);
end
pop2=sum(pop1,2);     %求pop1的每行之和

10. 最终权重解码

function w = decode(bestindividual,UnkonwNum,PartLen)w = zeros(1,UnkonwNum);for i = 1:UnkonwNumw(i) = decodechrom(bestindividual,PartLen*(i-1)+1,PartLen);endw = w/sum(w);
end

程序测试

需要优化的权重的数目为：4
最优准则为：[1,5,3,9]
最差准则为：[3,5,1,7]
最优权重为：0.4248    0.1842    0.2444    0.1466最优一致性数量指标:0.4167

声明：

1. 本文代码参考了本站的一位博主，由于时间久远未找到原文，如果原博主看到可以联系我。

2. 本文所有图片均剪切自参考文献。

参考文献

[1]蒋嘉.公共资源交易平台运行绩效评价研究.2022.东南大学,MA thesis.