强化学习（三）：时序差分学习（Temporal-Difference Learning, TD）

本文主要是介绍强化学习（三）：时序差分学习（Temporal-Difference Learning, TD），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. TD预测

TD是另一种对最优策略的学习方法，本节讲述TD预测，即使用TD求解策略$\pi$的值函数$v_{\pi }(s)$。

TD预测被称为 DP 和 MC 的结合体，DP是 期望更新+自举bootstrap，MC是 采样更新 + 样本估计。而TD则是采样更新 + 自举，即值函数$V(S_t)$更新基于采样得到的$V(S_{t+i})$的结果。

如果$i=1$，就为TD(0)单步TD算法，否则就为多步TD

当然动态特性$p(s^{\prime },a|s,a)$对于TD也是未知的。

1.1. TD(0)算法

根据采样更新与自举的思想，TD(0)的状态值函数预测式为

$$V(S_t)=V(S_t)+\alpha [R_{t+1}+\gamma V(S_{t+1})-V(S_t)]\text{\hspace{1em}(1)}$$

先给出一些定义：
TD目标：指$R_{t+1}+\gamma V(S_{t+1})$
TD误差：指$R_{t+1}+\gamma V(S_{t+1})-V(S_t)$
步长\学习率：指$\alpha$

如何理解上述定义呢？

结合图一看就明白了。对于状态$s$，所有包含$s$的episode均会使值函数的估计值$V(s)$朝着TD目标走长度为 $\alpha$倍TD误差 的一步，而获得新的$V(s)$。就是经过这样不断地走，最终会接近$v_{\pi }(s)$。

有没有想到梯度下降中的步长的概念？意思其实是一样的，同样的可以使用非恒定学习率，例如$\frac{1}{s的更新次数}$，即越接近$v_{\pi }(s)$学习率越小，这样$V(s)$就变成了采样取平均的方法。取平均的确会收敛概率为1，但这样收敛较慢，且对于非平稳问题则不太合适。

由此特征可以看到DP和MC的影子，深刻理解TD算法的思想：

1. 采样更新：可以看到$(1)$中更新的状态是与$t$有关的，即$V(S_t)$的更新是基于样本采样得出的单个后继节点的值函数，即$S_{t+1}$。
   只不过MC中用的是当前样本算得的$G_t$，TD中直接用的估计结果V。
2. 自举：式子中状态的值函数$V(S_t)$需要用到 已存在的 其他状态的值函数$V(S_{t+1})$

所以式子$(1)$中的$R_{t+1}+\gamma V(S_{t+1})$到底叫不叫样本？ 叫吧，可这个值涉及到多次迭代的估计值。不叫吧，可这又是采样得来的，而且$V(S_t)$的更新只看样本给出的下一个状态$V(S_{t+1})$。
\quad
因此TD的核心思想是对于状态$s$，步步采样，用估计值函数$V(s^{\prime })$更新（而非样本回报$G_t$）

上代码

V TDEvaluation(S,A,R,policy,alpha,gamma,maxEpisodeNum)
{V(S) = 0;episode = 1;for episode = 1:maxEpisodeNum{s = random(S);while(s != terminalState){a = policy(s);s' = updateState(s,a);r = reward(s,a,s');V(s) = V(s) + alpha*( r + gamma*V(s') - V(s) );s = s'; }}return V(S);
}	

2. 同轨TD控制：Sarsa

这里讨论经典的同轨的TD控制方法Sarsa。既然是同轨法，即行动策略 和 目标策略 相同，就必须考虑最优策略是确定性策略，即选择行动状态函数最大的动作时，这样的行动策略会带来的样本探索受限的问题（动态规划与蒙特卡洛方法中如是说）

2.1. $ϵ$-软性策略 ($ϵ$-greedy)

思路是将确定性策略改成近似确定性，即以较大概率$1-ϵ$选择${\max }_a{q}_{\pi }(s,a)$，以较小概率$ϵ$选择其他行为。因此要满足$1-ϵ>>ϵ$。

该策略如下：

Action policy(state,Q,epsilon)
{if( rand(0,1) < epsilon )return randomActions(state);elsereturn argmax(Action,Q(state,:));
}

这样的软性策略，实际上对于新样本的采集（行动策略）会以很小的概率$ϵ$进行，因此Sarsa算法的特点就是点的探索会比较保守。

2.2. 算法流程

与公式$(1)$类似，得到$Q(s,a)$的更新公式：

$Q(s,a)=Q(s,a)+\alpha [R(s,a)+\gamma Q(s^{\prime },a^{\prime })-Q(s,a)]$

注意到公式中出现了新状态的新动作$a^{\prime }$，该新动作也是通过$ϵ$-软性策略得到的。

整体代码如下，由于policy()是选取动作值函数Q(s,:)最大的动作，因此更新Q(s,a)就是控制。

policy Sarsa(S,A,R,epsilon,alpha,gamma,maxEpisodeNum)
{Q(S,A) = 0;episode = 1;for episode = 1:maxEpisodeNum{s = random(S);a = policy(s);while(s != terminalState){s' = updateState(s,a);a' = policy(s',Q,epsilon);r = reward(s,a,s');Q(s,a) = Q(s,a) + alpha*( r + gamma*Q(s',a') - Q(s,a) );s = s'; a = a';}}return policy(S,Q,epsilon);
}	

3. 离轨TD控制：Q学习

3.1. 基本思想

Q-Learning算法是一种强化学习算法，通过智能体在环境中不断地训练进而得出一种模型，在该模型下实现智能体的决策。

Q-Learning 的思想 是将智能体划分为多个可能的状态，每个状态之间通过某种行为相互转换（类似于状态机，也类似于离散系统控制中的系统状态x(k)和控制信号u(k)），在某种状态下采取不同的行为会得到不同的收益reward。

智能体的行为选择 是基于获得的期望总体收益q最大进行的，即在状态$s$下采取策略$a$是因为这样才能使未来期望的总收益达到最大

因此需要记录 所有状态的所有行为的期望总体收益，即$Q(s,a)$。

（注意策略$a$是基于未来所有收益的期望值，而非眼下的收益reward，一种动态规划思想）

Q-learning算法是一种 针对特定场景下边决策边训练的强化学习算法。主要变量如下
状态$s$，行为$a$，收益$reward(s,a)$，动作值函数Q-table $Q(s,a)$，

且系统状态$s$会在$a$的作用下发生转移，即$s_j=a_{ij}(s_i)$

（注意reward和Q-table的输入是两个：状态 和 行为，而不只是状态。即使转移到相同的状态s，也可能有不同的收益，$reward(s_i,a_{ij})\ne reward(s_k,a_{kj})$）

Q-learning的训练的过程只是 不断重复两步思维决策、Q-table更新

1.1.节中智能体的行为选择 是基于获得的期望总体收益q最大进行的，这里的期望总体收益指的就是Q-table的值。

因此智能体的选择很简单，取Q最大值对应的$a$即可，如果当前状态为$s$则选择的行为$a$应当满足

$a=a_m$,
where $a_m$ s.t. Q ( s , a m ) = m a x { Q ( s , a 1 ) , Q ( s , a 2 ) , . . . , Q ( s , a n ) } Q(s, a_m) = max\{Q(s,a_1),Q(s,a_2),...,Q(s,a_n) \} Q(s,am​)=max{Q(s,a1​),Q(s,a2​),...,Q(s,an​)}。

Q-table中$Q(s,a)$表示状态$s$下采取$a$的得到的期望总体收益。

总体收益的含义是指，从状态$s$采取动作$a$到$s^{\prime }$开始到算法结束的所有收益之和。但是从$s^{\prime }$到算法终止策略有很多，因此这样的收益有很多，但有一个期望值。

期望的总体收益则是指从状态为$s$，采取动作$a$转移至$s^{\prime }$，如果接下来都采取最佳策略的总体收益。

最佳策略则是如1.2.1所讲，期望总体收益q最大的那个选择策略。

因此根据动态规划思想，$Q(s,a)$就应该包含：状态$s$采取动作$a$的收益 和 $s^{\prime }$的期望总体收益。

$Q(s,a)=reward(s,a)+\gamma E[Q(s^{\prime })]$
= r e w a r d ( s , a ) + γ m a x a { Q ( s ′ , a ) } \quad\quad\quad= reward(s,a) + \gamma max_{a}\{Q(s',a)\} =reward(s,a)+γmaxa​{Q(s′,a)}

其中 $s^{\prime }=a(s)$，$E[Q(s^{\prime })]$表示$s^{\prime }$状态的总体收益的期望值，$\gamma$表示折扣因子，用于确定延迟回报与当前回报的相对比例， 越大表明延迟回报的重要程度越高。

迭代过程中$Q(s,a)$是不断修正地过程，因此将$Q(s,a)$变为过去的估计值 和 当前的现实值得加权和（Kalman滤波器既视感）

Q ( s , a ) = Q ( s , a ) + ϵ ( R ( s , a ) + γ m a x a { Q ( s ′ , a ) } ) Q(s, a) = Q(s, a) + \epsilon ( R(s,a) + \gamma max_{a}\{Q(s',a)\} ) Q(s,a)=Q(s,a)+ϵ(R(s,a)+γmaxa​{Q(s′,a)})

其中$ϵ$表示学习率。

3.2. 算法流程

对Q-learning算法进行一个流程总结，可能直接看伪代码更加清晰。

QLearning(initialState,endState,reward,N)
{episode = 1;s = initialState;while(episode < N){a = chooseAction(s,Qfun);sNew = updateState(s,a);Qfun = updateQ(Qfun,reward,s,a,sNew);s = sNew;if(sNew == endState){s = initialState;episode++;}}
}

动作选择、状态更新 和 Qtable更新细节如下

action chooseAction(currentState,Qfun,prob)
{if(rand(0,1) > prob)return rand(all Actions within currentState);bestAction = first Action;for each Action in currentState:if(Qfun(currentState,Action) > Qfun(currentState,bestAction))bestAction = Action;return bestAction;
}newState updateState(currentState,action)	//与系统动力学有关Qfun updateQ(Qfun,reward,currentState,currentAction,newState,gamma,epsilon)
{s = currentState;a = currentAction;sNew = newState;Qfun(s,a) += epsilon * (reward(s,a) +gamma * max(Qfun(sNew,:)) );return Qfun(s,a);
}

参考资料

1. https://www.bilibili.com/video/BV13W411Y75P?p=5
2. https://blog.csdn.net/itplus/article/details/9361915
3. https://baijiahao.baidu.com/s?id=1597978859962737001&wfr=spider&for=pc
4. https://blog.csdn.net/wlm_py/article/details/101301986

X. 动态规划法DP、蒙特卡洛法MC 和 时序差分法TD的比较

X.1. 核心思想

X.2. 算法特点

这篇关于强化学习（三）：时序差分学习（Temporal-Difference Learning, TD）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---