【学术】重构具有时间延迟相互作用的动力学网络

本文主要是介绍【学术】重构具有时间延迟相互作用的动力学网络，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Reconstruction of dynamic networks with time-delayed interactions in presence of fast-varying noises

Zhaoyang Zhang	Yang Chen	Yuanyuan Mi	Gang Hu
Ningbo University	中科院脑网中心和国家模式识别实验室	Chongqing University	Beijing Normal University

Dated: April 1, 2019

理论推导

考虑$N$个节点的动力学系统
$${\dot{x}}_i=F_i[x_i(t)]+\sum _{j=1,j̸=i}^N{\Phi }_{ij}[x_i(t),x_j(t-{\tau }_{ij})]+{\eta }_i(t)+{\Gamma }_i(t),i=1,2,...,N$$

其中${\eta }_i(t)$为色噪声，${\Gamma }_i(t)$为白噪声，满足
$$<{\eta }_i(t)>=0,<{\eta }_i(t){\eta }_i(t+t^{\prime })>=P_{ij}{e}^{-\frac{|t^{\prime }|}{{\tau }_C}}$$

$$<{\Gamma }_i(t)>=0,<{\Gamma }_i(t){\Gamma }_i(t+t^{\prime })>=Q_i{\delta }_{ij}\delta (t^{\prime })$$

$$<{\Gamma }_i(t){\eta }_j(t)>=0$$

$F_i$和${\Phi }_{ij}$可以为线性或者非线性。需要设计算法，从数据中重构出网络连接。假设在整个网络中我们只能够测量两个节点$A$和$B$，并且有充足的数据。
$$x_A(t)=[x_A(t_1),x_A(t_2)....,x_A(t_k),...,x_A(t_L)]$$

$$x_B(t)=[x_B{t}_1),x_B(t_2)....,x_B(t_k),...,x_B(t_L)]$$

$$0<\Delta t=t_{k+1}-t_k\ll 1,L\gg 1$$

对$x_i(t)$求时间的二阶段导可得
$${\ddot{x}}_i(t)=\frac{\partial F_i[x_i(t)]}{\partial x_i(t)}x$$

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