网络流之--最小点权覆盖和最大点权独立集

    二分图最小点覆盖和最大独立集都可以转化为最大匹配求解。在这个基础上，把每个点赋予一个非负的权值，这两个问题就转化为：二分图最小点权覆盖和二分图最大点权独立集。

    二分图最小点权覆盖

    从x或者y集合中选取一些点，使这些点覆盖所有的边，并且选出来的点的权值尽可能小。

建模：

    原二分图中的边(u,v)替换为容量为INF的有向边(u,v)，设立源点s和汇点t，将s和x集合中的点相连，容量为该点的权值；将y中的点同t相连，容量为该点的权值。在新图上求最大流，最大流量即为最小点权覆盖的权值和。

二分图最大点权独立集

    在二分图中找到权值和最大的点集，使得它们之间两两没有边。其实它是最小点权覆盖的对偶问题。答案=总权值-最小点覆盖集。具体证明参考胡波涛的论文。

例：HDU1569

题意：一个m*n的棋盘，每个格子都有一个权值，从中取出某些数，使得任意两个数所在的格子没有公共边，并且所取去出的数和最大。求这个最大的值。

解：

    将格子染色成二分图，显然是求二分图的最大点权独立集。将问题转化为二分图最小点权覆盖来求解，最终结果=总权和-最大流。

/*
最大点权独立集：
转化为最小点权覆盖问题，最大点权独立集=总权值-最小点权覆盖集
最小点权覆盖：
设立源点s和t，s连边到点i，容量为i点的权值；点j连边到t，容量为j点权值；原二分图中的边容量为INF，求最大流即为最小点权覆盖。
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int INF = 0x7fffffff;
const int maxv = 2600;
const int maxe = 1000000;
int n,m;
int g[55][55];
struct Edge
{
int v;
int next;
int flow;
};
Edge e[maxe];
int head[maxv],edgeNum;
int now[maxv],d[maxv],vh[maxv],pre[maxv],preh[maxv];
int start,end;
void addEdge(int a,int b,int c)
{
e[edgeNum].v = b;
e[edgeNum].flow = c;
e[edgeNum].next = head[a];
head[a] = edgeNum++;
e[edgeNum].v = a;
e[edgeNum].flow = 0;
e[edgeNum].next = head[b];
head[b] = edgeNum++;
}
void Init()
{
edgeNum = 0;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(d,0,sizeof(d));
}
int sap(int s,int t,int n)       //源点，汇点，结点总数
{
int i,x,y;
int f,ans = 0;
for(i = 0; i < n; i++)
now[i] = head[i];
vh[0] = n;
x = s;
while(d[s] < n)
{
for(i = now[x]; i != -1; i = e[i].next)
if(e[i].flow > 0 && d[y=e[i].v] + 1 == d[x])
break;
if(i != -1)
{
now[x] = preh[y] = i;
pre[y] = x;
if((x=y) == t)
{
for(f = INF,i=t; i != s; i = pre[i])
if(e[preh[i]].flow < f)
f = e[preh[i]].flow;
ans += f;
do
{
e[preh[x]].flow -= f;
e[preh[x]^1].flow += f;
x = pre[x];
}while(x!=s);
}
}
else
{
if(!--vh[d[x]])
break;
d[x] = n;
for(i=now[x]=head[x]; i != -1; i = e[i].next)
{
if(e[i].flow > 0 && d[x] > d[e[i].v] + 1)
{
now[x] = i;
d[x] = d[e[i].v] + 1;
}
}
++vh[d[x]];
if(x != s)
x = pre[x];
}
}
return ans;
}
void build()
{
int i,j;
for(i = 1; i <= m; i++)
{
for(j = 1; j <= n; j++)
{
int t = (i-1)*n+j;
if((i+j)%2)
{
addEdge(start,t,g[i][j]);
if(i>1)
addEdge(t,t-n,INF);
if(i<m)
addEdge(t,t+n,INF);
if(j>1)
addEdge(t,t-1,INF);
if(j<n)
addEdge(t,t+1,INF);
}
else
addEdge(t,end,g[i][j]);
}
}
}
int main()
{
int i,j;
int result;
while(scanf("%d %d",&m,&n) != EOF)
{
result = 0;
Init();
for(i = 1; i <= m; i++)
{
for(j = 1; j <= n; j++)
{
scanf("%d",&g[i][j]);
result += g[i][j];
}
}
start = 0;
end = n*m + 1;
build();
printf("%d\n",result-sap(start,end,end+1));
}
return 0;
}