时序ARIMA模型

本文主要是介绍时序ARIMA模型，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

时序ARIMA模型

引言

自回归移动平均模型（ARIMA）是一种常用于时间序列分析和预测的统计模型。它包括了自回归（AR）和移动平均（MA）两个组成部分，并结合了差分（Integrated）操作。在本文中，我们将探讨ARIMA模型的公式及其含义，以帮助读者更好地理解这一重要的时间序列模型。

ARIMA模型的基本概念

ARIMA模型的名称反映了其三个主要组成部分：

1. 自回归（AR，Autoregressive）： 表示当前观测值与过去一系列观测值之间存在线性关系。自回归阶数（p）定义了模型中考虑的过去观测值的数量。

2. 差分（I，Integrated）： 表示对时间序列进行差分操作，即当前观测值与前一观测值之差。差分阶数（d）表示进行了多少次差分操作，以使时间序列变得平稳。

3. 移动平均（MA，Moving Average）： 表示当前观测值与过去一系列观测值的白噪声误差之间存在线性关系。移动平均阶数（q）定义了模型中考虑的白噪声误差的数量。

ARIMA模型的一般表示为ARIMA(p, d, q)。

ARIMA模型公式

1. AR部分

自回归部分的公式表示为：

$$\begin{array}{c}{X}_t=c+{\varphi }_1{X}_{t-1}+{\varphi }_2{X}_{t-2}+\dots +{\varphi }_p{X}_{t-p}+{ϵ}_t\end{array}$$

其中：

• $X_t$是时间序列在时刻 (t) 的观测值。
• $c$ 是常数项。
• ${\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,{\varphi }_p$ 是自回归系数，表示当前观测值与过去 (p) 个观测值之间的权重。
• ${ϵ}_t$ 是白噪声误差。

2. I部分

差分部分的公式表示为：

$$\begin{array}{c}{Y}_t={\nabla }^d{X}_t\end{array}$$

其中：

• ${\nabla }^d$ 表示 $d$次差分操作。

3. MA部分

移动平均部分的公式表示为：
$$\begin{array}{c}{X}_t=\mu +{\theta }_1{ϵ}_{t-1}+{\theta }_2{ϵ}_{t-2}+\dots +{\theta }_q{ϵ}_{t-q}+{ϵ}_t\end{array}$$

其中：
-$\mu$ 是均值项。
-${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_q$ 是移动平均系数，表示当前观测值与过去$q$个白噪声误差之间的权重。

4. 组合

将AR、I和MA三部分结合起来，得到完整的ARIMA模型：

$$\begin{array}{c}{Y}_t=c+{\varphi }_1{Y}_{t-1}+{\varphi }_2{Y}_{t-2}+\dots +{\varphi }_p{Y}_{t-p}+{\nabla }^d{X}_t=\mu +{\theta }_1{ϵ}_{t-1}+{\theta }_2{ϵ}_{t-2}+\dots +{\theta }_q{ϵ}_{t-q}+{ϵ}_t\end{array}$$

ARIMA模型的应用步骤

1. 确定差分阶数$d$： 通过观察原始时间序列的图表和自相关图，判断是否需要进行差分操作以使序列平稳。

2. 确定AR和MA的阶数$p$ 和$q$： 通过观察偏自相关图和自相关图，选择合适的自回归阶数 $p$和移动平均阶数$q$。

3. 拟合ARIMA模型： 使用确定的$d$, $p$, $q$值拟合ARIMA模型。

4. 模型诊断： 对拟合的模型进行诊断，检查残差是否是白噪声，以确保模型的有效性。

5. 模型预测： 利用拟合好的ARIMA模型进行未来时间点的预测。

结语

ARIMA模型作为一种经典的时间序列分析工具，具有较好的解释性和可解释性。通过深入理解ARIMA模型的公式和应用步骤，我们能够更好地利用这一工具进行时间序列数据的建模和预测，为实际问题提供可靠的分析结果。在应用ARIMA模型时，需要充分考虑时间序列的性质，灵活选择模型的参数，以获得更准确的预测结果。后续会更新ARIMA的Python实现。

这篇关于时序ARIMA模型的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---