装配线调度

问题描述：

汽车生产工厂共有两条装配线，每条有n个装配站；装配线i 的第j 个装配站表示为Si,j，在该站的装配时间为ai,j。一个汽车底盘进入工厂，然后进入装配线i（i 为1或2），花费时间为ei。在通过一条线的第j 个装配站后，这个底盘来到任一条线的第（j+1）个装配站。如果它留在相同的装配线，则没有移动开销；如果它移动到另一条线上，则花费时间为ti,j。在离开一条线的第n个装配站后，完成的汽车花费时间xi 离开工厂。确定应该在装配线1内选择哪些站，在装配线2内选择哪些站，才能使汽车通过工厂的总时间最小。

问题分析：

初看该问题，最简单的解决方案就是遍历法，在遍历的过程中得出最小时间。但应当看到，当站点数n较大时，需要遍历2的n次方条路线，效率是较低的。那么，有没有效率更高的解决方案呢？

为了方便分析问题，我们为该问题建立一个简单的数学模型。假设通过装配站j的最短总时间为f(j)，通过装配站j的最短路线选择的装配线是r(j)（r(j)的值为1或2），则汽车通过工厂的总时间为f=f(n)+x(r(n))。那么，现在关键的问题就是要计算出f(n)和r(n)。汽车通过装配站n的路线中也必然通过了装配站n-1，我们可以来看看通过装配站n的最短总时间f(n)和选择的装配线r(n)与通过装配站n-1的最短总时间f(n-1)和选择的装配线r(n-1)之间有没有什么关联。通过分析应当不难得出，如果计算出了f(n-1)和r(n-1)，则f(n)就是f(n-1)加上从第n-1个装配站到第n个装配站的最短时间。而知道了r(n-1)，计算从第n-1个装配站到第n个装配站的最短时间是非常容易的，记!r(j)为另一条装配线，则只需要找出a(r(n-1),n)和a(!r(n-1),n)+t(r(n-1), n-1)中的较小值即可

由此得出下列规划方程：

#include <iostream>
using namespace std;
int n;                 // 一个装配线上有n个装配站
int e1, e2;            // 进入装配线1,2需要的时间
int x1, x2;            // 离开装配线1,2需要的时间
int t[3][100];         // t[1][j]表示底盘从S[1][j]移动到S[2][j+1]所需时间,同理t[2][j]
int a[3][100];         // a[1][j]表示在装配站S[1][j]所需时间
int f1[100], f2[100];  // f1[j], f2[j]分别表示在第一/第二条装配线上第j个装配站的最优解
int ln1[100], ln2[100];// ln1[j]记录第一条装配线上,最优解时第j个装配站的前一个装配站是第一条线还是第二条线上
int f, ln;             // 最优解是,f代表最小花费时间，ln表示最后出来时是从装配线1还是装配线2
void DP()
{
f1[1] = e1 + a[1][1];
f2[1] = e2 + a[2][1];
for(int j=2; j<=n; ++j)
{
// 处理第一条装配线的最优子结构
if(f1[j-1] + a[1][j] <= f2[j-1] + t[2][j-1] + a[1][j])
{
f1[j] = f1[j-1] + a[1][j];
ln1[j] = 1;
}
else
{
f1[j] = f2[j-1] + t[2][j-1] + a[1][j];
ln1[j] = 2;
}
// 处理第二条装配线的最优子结构
if(f2[j-1] + a[2][j] <= f1[j-1] + t[1][j-1] + a[2][j])
{
f2[j] = f2[j-1] + a[2][j];
ln2[j] = 2;
}
else
{
f2[j] = f1[j-1] + t[1][j-1] + a[2][j];
ln2[j] = 1;
}
}
if(f1[n] + x1 <= f2[n] + x2)
{
f = f1[n] + x1;
ln = 1;
}
else
{
f = f2[n] + x2;
ln = 2;
}
}
void PrintStation()
{
int i= ln;
cout << "line " << i << ", station " << n << endl;
for(int j=n; j>=2; --j)
{
if(i == 1)
i = ln1[j];
else
i = ln2[j];
cout << "line " << i << ", station " << j-1 << endl;
}
}
int main()
{
//freopen("input.txt", "r", stdin);
cout << "输入装配站的个数: ";
cin >> n;
cout << "输入进入装配线1，2所需的时间e1, e2 :";
cin >> e1 >> e2;
cout << "输入离开装配线1, 2所需的时间x1, x2: ";
cin >> x1 >> x2;
cout << "输入装配线1上各站加工所需时间a[1][j]: ";
for(int i=1; i<=n; ++i)
cin >> a[1][i];
cout << "输入装配线2上各站加工所需时间a[2][j]: ";
for(int i=1; i<=n; ++i)
cin >> a[2][i];
cout << "输入装配线1上的站到装配线2上的站所需时间t[1][j]: ";
//注意这里是i<n，不是i<=n
for(int i=1; i<n; ++i)
cin >> t[1][i];
cout << "输入装配线2上的站到装配线1上的站所需时间t[2][j]: ";
for(int i=1; i<n; ++i)
cin >> t[2][i];
DP();
cout << "最快需要时间: " << f << endl;
cout << "路线是: " << endl;
PrintStation();
cout << endl;
} 
/*
9
2 3
3 5
1 2 4 1 5 2 3 5 4
2 5 6 3 4 8 1 5 4
3 2 5 4 2 6 8 1
1 2 3 6 5 2 3 4
9
3 5
2 3
2 5 6 3 4 8 1 5 4
1 2 4 1 5 2 3 5 4
1 2 3 6 5 2 3 4
3 2 5 4 2 6 8 1
*/