【概率论基础】标本空间与事件 | Sample Space and Event

2024-01-12 04:40

本文主要是介绍【概率论基础】标本空间与事件 | Sample Space and Event,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

 

前言:

个人学习笔记,由于是国外教材,所以翻译的数学名词可能与国内教材上的有些许出入。

目录

前言:

0x00 定义

0x01 复原提取和非复原提取

0x02 和事件和交事件

0x03 余事件和差事件

0x04 互斥事件和两两互斥事件

0x05 划分(partition)


0x00 定义

概率(probability)

事件在一定条件下发生的可能性程度以数值表现形式,称为概率。

统计(statistics)

从社会现象到自然现象的各种数据,按照一定的系统,以数值的形态进行分析和表达。

概率现象(random phenomenon)

在社会现象和自然现象中,结果不是预先确定的现象,即结构受到某种不确定性影响的现象,称为概率现象。

概率实验(random experiment)

结果表现为概率现象的实验、观察或调查,称为概率实验。(比如:掷硬币、掷色子、抽牌)

标本空间(sample space)

从概率实验中可以获得的所有可能结果的集合,称为概率是实验的标本空间,用符号 S\Omega 表示。

标本点(sample point)

標本空間的每个元素称为一个样本点,用 w_1, w_2, w_3... 等表示。

事件(event)

标本空间的部分集合(子集),满足一定条件的特定样本点的集合称为事件,用大写字母 A,B,C等表示。

全事件(total event)

标本空间 \Omega 为全事件。

空事件(empty event)

记为 \O 。

根源事件(elementary event)

由一个样本点组成的事件称作根源事件。

参考:

① 抛硬币概率实验中的样本空间为:

    \Omega = \left \{ H, T \right \}    (硬币正面记为H,反面即为T)

② 单次掷骰子的样本空间为: 

  

例题:

① 求出硬币反复抛3次的概率实验中的标本空间 \Omega .

\Omega = \left \{ \left ( i,j \right ) | 1 \leq i,j\leq 6 \right \} =

② 请求出至少出现一次正面(H) 的事件 A.

A = \left \{ \left ( i,j \right ) \in \Omega | i=j \right \} = 

③ 请求出背面(T) 比正面(H) 出现的次数多的事件 B.

B = \left \{\left ( i,j \right )\in \Omega | i=2j \right \}= 

0x01 复原提取和非复原提取

再概率实验中多次重复同一实验时:

复原提取(replacement)

将提取的内容返回并提取下一个的方式,我们称之为 复原提取。(replacement)

(放回抽样)

非复原提取(without replacement)

提取下一个而不返回提取的方式称为非复原提取。

(不放回抽样)

0x02 和事件和交事件

对于标本空间 \Omega 的部分集合的两个事件 A 和 B:

和事件(union of event)

A和B的合事件:发生事件A或事件B的事件

交事件(intersection of events)

A和B的交事件:事件A和事件B同时发生的事件称为交事件

参考:

0x03 余事件和差事件

对于标本空间 \Omega 的部分集合的两个事件 A 和 B: 

余事件(complementary event)

事件A没有发生的事件:

差事件(difference of event)

发生事件A但是没有发生事件B的事件:

 

0x04 互斥事件和两两互斥事件

互斥事件(mutually exclusive events)

标本空间 \Omega 的部分集合中的两个事件 A 和 B 同时没有发生时,则 时,A B 两事件被称为 互斥事件。

两两互斥事件(pairwisely mutually exclusive events

对于标本空间 \Omega 的部分集合(子集)的 n 个事件的 A_1, A_2, ... ,A_n ,

 时,A_1, A_2, ... ,A_n  被称为成对互斥事件。

(任意两个都互斥)

0x05 划分(partition)

对于标本空间 \Omega 的部分集合(子集)的 n 个事件的 A_1, A_2, ... ,A_n 的以下两个条件:

① A_1, A_2, ... ,A_n 是两两互斥事件。则  

② 若满足 ,我们称 是标本空间 \Omega 的划分(完备事件群)。

即试验中的若干个事件,它们互斥且至少有一事件发生。

例题:投币三次,如果定义正面出现的次数 i 的事件为 A_i(i=0,1,2,3),请证明该事件是标本空间 \Omega 的划分。

Sol:

      \Omega ={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT} 

      A_0 = {TTT}

      A_1 = {HTT,THT,TTH}

      A_2 = {HHT,HTH,THH}

      A_3 = {HHH}

      \because A_i\bigcap_{}^{}A_j = \O (i\neq j,i\leqslant j,j\leqslant 4)

      \therefore A_1,A_2,A_3,A_4 为两两互斥事件,且  A_1\bigcup A_2 \bigcup A_3 \bigcup A_4 = \Omega

      \therefore \left \{ A_0,A_1,A_2,A_3 \right \} 是 \Omega 的划分。


参考资料:

Heels L Z W H. Probability and statistics[M]. 4. .

百度百科[EB/OL]. []. https://baike.baidu.com/.

本篇完。

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http://www.chinasem.cn/article/596832

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