机器学习（四）------逻辑斯特回归

1.LR的原理：

逻辑回归模型

      虽然逻辑回归姓回归，不过其实它的真实身份是二分类器。介绍完了姓，我们来介绍一下它的名字，逻辑斯蒂。这个名字来源于逻辑斯蒂分布：

逻辑斯蒂分布

设X是连续随机变量，X服从逻辑斯蒂分布是指X具有下列的分布函数和密度函数： 

上式中，μ表示位置参数，γ>0为形状参数。

有没有发现f(x)F(x)是啥？有图你就知道真相了：

有没有发现右边很熟悉？没错，就是sigmoid 曲线，只不过，这个曲线是以点( μ, 1/2) 为中心对称。从图中可以看出，曲线在中心附近增长速度较快，而形状参数 γ 值越小，曲线在中心附近增长越快，请自行脑补一下。

二项逻辑回归模型

之前说到，逻辑回归是一种二分类模型，由条件概率分布P(Y|X)P(Y|X) 表示，形式就是参数化的逻辑斯蒂分布。这里的自变量XX取值为实数，而因变量YY为0或者1。二项LR的条件概率如下：

也就是说，输Y=1的对数几率是由输入xx的线性函数表示的模型，这就是 逻辑回归模型。当w⋅x的值越接近正无穷，P(Y=1|x) 概率值也就越接近1.

现在要求 w 使得L(w) 最大，有的人可能会有疑问：

      在机器学习领域，我们更经常遇到的是损失函数的概念，其衡量的是模型预测错误的程度。常用的损失函数有0-1损失，log损失，hinge损失等。通常是最小化损失函数，这里为啥求极大似然估计？

接下来就是对L(w)求极大值(也可认为是求J(w)的最小值)，得到w的估计值。逻辑回归学习中通常采用的方法是梯度下降法 和 牛顿法。

Long Valley: 

Beale’s Function:

Saddle Point:

向量化的推导：

Logistic回归是回归的一种方法，它利用的是Sigmoid函数阈值在[0,1]这个特性。Logistic回归进行分类的主要思想是：根据现有数据对分类边界线建立回归公式，以此进行分类。其实，Logistic本质上是一个基于条件概率的判别模型(Discriminative Model)。

所以要想了解Logistic回归，我们必须先看一看Sigmoid函数 ，我们也可以称它为Logistic函数。它的公式如下：

整合成一个公式，就变成了如下公式：

下面这张图片，为我们展示了Sigmoid函数的样子。

z是一个矩阵，θ是参数列向量(要求解的)，x是样本列向量(给定的数据集)。θ^T表示θ的转置。g(z)函数实现了任意实数到[0,1]的映射，这样我们的数据集([x0,x1,…,xn])，不管是大于1或者小于0，都可以映射到[0,1]区间进行分类。hθ(x)给出了输出为1的概率。比如当hθ(x)=0.7，那么说明有70%的概率输出为1。输出为0的概率是输出为1的补集，也就是30%。

如果我们有合适的参数列向量θ([θ0,θ1,…θn]^T)，以及样本列向量x([x0,x1,…,xn])，那么我们对样本x分类就可以通过上述公式计算出一个概率，如果这个概率大于0.5，我们就可以说样本是正样本，否则样本是负样本。

举个例子，对于”垃圾邮件判别问题”，对于给定的邮件(样本)，我们定义非垃圾邮件为正类，垃圾邮件为负类。我们通过计算出的概率值即可判定邮件是否是垃圾邮件。

那么问题来了！如何得到合适的参数向量θ?

根据sigmoid函数的特性，我们可以做出如下的假设：

上式即为在已知样本x和参数θ的情况下，样本x属性正样本(y=1)和负样本(y=0)的条件概率。理想状态下，根据上述公式，求出各个点的概率均为1，也就是完全分类都正确。但是考虑到实际情况，样本点的概率越接近于1，其分类效果越好。比如一个样本属于正样本的概率为0.51，那么我们就可以说明这个样本属于正样本。另一个样本属于正样本的概率为0.99，那么我们也可以说明这个样本属于正样本。但是显然，第二个样本概率更高，更具说服力。我们可以把上述两个概率公式合二为一：

合并出来的Cost，我们称之为代价函数(Cost Function)。当y等于1时，(1-y)项(第二项)为0；当y等于0时，y项(第一项)为0。为了简化问题，我们对整个表达式求对数，(将指数问题对数化是处理数学问题常见的方法)：

这个代价函数，是对于一个样本而言的。给定一个样本，我们就可以通过这个代价函数求出，样本所属类别的概率，而这个概率越大越好，所以也就是求解这个代价函数的最大值。既然概率出来了，那么最大似然估计也该出场了。假定样本与样本之间相互独立，那么整个样本集生成的概率即为所有样本生成概率的乘积，再将公式对数化，便可得到如下公式：

其中，m为样本的总数，y(i)表示第i个样本的类别，x(i)表示第i个样本，需要注意的是θ是多维向量，x(i)也是多维向量。

综上所述，满足J(θ)的最大的θ值即是我们需要求解的模型。

简化的成本 函数：

2.1梯度下降（上升）：

J(θ)这个函数的极值，也可以这么求解。公式可以这么写：

由上小节可知J(θ)为：

sigmoid函数为：

那么，现在我只要求出J(θ)的偏导，就可以利用梯度上升算法，求解J(θ)的极大值了。

那么现在开始求解J(θ)对θ的偏导，求解如下(数学推导)：

其中：

再由：

可得：

接下来，就剩下第三部分：

综上所述：

因此，梯度上升迭代公式为：

梯度下降用 减号。

2.2更高级的算法：

1. 共轭梯度法 
2. BFGS (变尺度法  ) 
3. L-BFGS (限制变尺度法 )

3.正则化：

当模型的参数过多时，很容易遇到过拟合的问题。而正则化是结构风险最小化的一种实现方式，通过在经验风险上加一个正则化项，来惩罚过大的参数来防止过拟合。

显然，最右这张图overfitting了，原因可能是能影响结果的参数太多了。典型的做法在优化目标中加入正则项，通过惩罚过大的参数来防止过拟合：                                        p=1或者2，表示L1范数和 L2范数，这两者还是有不同效果的。

L1范数：是指向量中各个元素绝对值之和，也有个美称叫“稀疏规则算子”（Lasso regularization）。那么，参数稀疏 有什么好处呢？

一个关键原因在于它能实现 特征的自动选择。一般来说，大部分特征 xixi和输出 yiyi 之间并没有多大关系。在最小化目标函数的时候考虑到这些额外的特征 xi，虽然可以获得更小的训练误差，但在预测新的样本时，这些没用的信息反而会干扰了对正确 yiyi 的预测。稀疏规则化算子的引入就是为了完成特征自动选择的光荣使命，它会学习地去掉这些没有信息的特征，也就是把这些特征对应的权重置为0。

L2范数：它有两个美称，在回归里面，有人把有它的回归叫“岭回归”（Ridge Regression），有人也叫它“权值衰减”(weight decay)。

它的强大之处就是它能 解决过拟合 问题。我们让 L2 范数的规则项 ||w||2 最小，可以使得 w 的每个元素都很小，都接近于0，但与 L1 范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这里还是有很大区别的。而越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。可能是因为参数小，对结果的影响就小了吧。

4.多类别分类：

参考资料：

1. 博客：https://blog.csdn.net/cyh_24/article/details/50359055#t8
2. 博客：https://blog.csdn.net/c406495762/article/details/77851973
3. 李航《统计学》
4. 吴恩达《机器学习》