如何用总体比例估计确定产品质量

内容导入：

公司生产了一批产品，但这批产品到底怎么样，是不是所有的产品都符合质量标准，这批产品里有没有次品，产品的次品率又是多少，次品率是否符合国家标准？这就是我们今天要说的总体比例的问题了。

之前我们讲过总体均值估计及其在在企业生产过程中的应用，今天我们就来看看总体比例估计以及它在在企业生产过程中的应用。

一、两点分布与二项分布

我们以产品抽样过程为例，假如我们从一批产品中随机抽出一个产品，这个产品可能是次品也可能不是次品，也就是说产品的品质有两种可能：次品、非次品。

在统计学中，我们把这批产品叫做总体，随机抽出的产品叫样本，而产品的品质可以用随机变量X表示，X的取值有两种可能：次品、非次品。

此时若样本为次品的概率是p,随机变量X就服从一个两点分布，用b(1-p)表示，X取值的概率情况即：

两点分布的期望（总体均值）E(x)=p，方差Var(x)=p(1-p)。

我们称上述从总体中随机抽出一个样本的过程为一次伯努利实验，重复抽取n次就是n次伯努利实验。n次抽样抽到次品的次数我们用另一个随机变量Y表示，Y的取值可能是1,2,…,n，Y的分布即二项分布b(n,p)。

两点分布就是n=1的二项分布。

二、总体比例的点估计

总体比例的点估计就是样本比例。

三、大样本总体比例区间估计

3.1区间估计理论

当产品的品质X服从两点分布b(1,p)时，两点分布b(1,p)具有一个显著特点总体均值等于p，总体方差p(1-p)。样本量n足够大时，总体比例的估计与大样本、方差未知时的总体均值估计类似，只是此时我们不再用样本方差代替总体方差。

根据中心极限定理，样本量n足够大时，样本均值渐进正态分布，而

可见样本均值的期望为p,标准化的样本均值服从标准正态分布，即：

的置信水平下，有如下公式成立，

为标准正态分布右侧面积为

的Z值，

可以从不等式

求解p的取值范围，

就等价于

这就是一个一元二次不等式的求解，我们这里就不在介绍求解过程了。

最终我们将置信水平

的置信区间用[Pl,Pu]表示，其中

3.2样本量的确定

在进行总体比例的估计之前，我们要先完成抽样的过程，而抽样就需要我们确定一个适当的样本量。我们进行估计的时候总是希望提高估计的可靠程度，但在一定的样本量下，要提高估计的可靠程度（置信水平）就需要扩大置信区间，而过宽的置信区间在实际估计中是没有意义的，因此，想要保证置信区间的宽度，就要用一定的样本量作为保证，所以样本量的确定也是我们进行估计过程中十分重要的一步，我们知道区间的宽度为

我们给出一个区间宽度d即置信水平就可以求得合适的样本量。

推导过程不再说明，最终我们求得不等式组：

的解就是样本量n的取值范围，然后我们只需取出取值范围内n的最小整数值作为样本量就可以达到要求。

上面的不等式中有一个值^p我们并不知道，此时我们可以用类似的样本比例代替，也可以提前做一个实验调查，选择一个初始样本，以该样本的样本比例作为其估计值。当我们估计该值时，也可以令其为0.5。

3.3区间估计应用举例

我们要检测一批产品的次品率，要求其区间估计的宽度小于等于0.1，置信水平为0.95，则

我们令^p为0.5，则求得最小样本量为381。

假设抽取381个样本后，发现这381个样本中有15个为次品，求这批产品次品率的95%置信水平的置信区间。

代入下面的公式：

我们求得置信区间为(0.0241, 0.0641)

同样这里我们也用python编程提供了求最小样本量，总体比例估计的函数，

求最小样本量的函数，只需输入区间宽度最大值，置信水平和^p估计值就可以求得最小样本容量。

import scipy.stats 
import math 
def P_sample_num(d,confidence=0.95,p=0.5): ''' d:区间宽度 confidence：置信水平 ''' alpha = 1 - confidence z_score= scipy.stats.norm.isf(alpha / 2) a=d**2 b=2*z_score**2*(d**2-2*(p-p**2)) c=(d**2-1)*z_score**4 sq=np.sqrt(b**2-4*a*c) n=0.5*(-b+sq)/a return math.ceil(n)

求总体比例估计的函数，只需输入样本量、所求占比的样本数、置信水平，就可以得到点估计和区间估计。

import numpy as np 
import scipy.stats 
def p_interval(n,n_p,confidence=0.95): ''' n:样本量 n_p:所求占比的样本数 confidence：置信水平 ''' p=n_p/n alpha = 1 - confidence z_score = scipy.stats.norm.isf(alpha / 2)  # z分布临界值 a=n+z_score**2 b=-(2*n*p+z_score**2) c=n*p**2 sq=np.sqrt(b**2-4*a*c) PL=0.5*(-b-sq)/a PU=0.5*(-b+sq)/a return p,(round(PL,4),round(PU,4))

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