(三) POJ1050,动态规划必做题目,经典程度五颗星。这个题目的前身就是:求最大子序列和。 先来看最大子序列和。有一串数,有正有负,如2,-1,5,4,-9,7,0,3,-5。求:这

本文主要是介绍(三) POJ1050,动态规划必做题目,经典程度五颗星。这个题目的前身就是:求最大子序列和。 先来看最大子序列和。有一串数,有正有负,如2,-1,5,4,-9,7,0,3,-5。求:这,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

(三) POJ1050,动态规划必做题目,经典程度五颗星。这个题目的前身就是:求最大子序列和。

      先来看最大子序列和。有一串数,有正有负,如2,-1,5,4,-9,7,0,3,-5。求:这一串数中,和最大的一段。比如说,从第一个数2开始,发现下一个为-1,加下-1后和显然会变小。再往后看,第三个数是5,所以上一个-1还是要选的,这样才能加上5。哎,不看了,这样求最大和还不得累死。嘿嘿,这时DP就派上用场了。

 

设这串数为X1 X2 X3 … Xn, 用dp(i,j)表示从Xi…Xj的最大子序列和。

按照DP的思路,想办法减小问题的规模。有n个数,怎样能减少到n-1数?想办法把最后一个数Xn去掉,问题规模就能减少到n-1。

通过观察可以发现:X1…Xn的最大子序列可以分为两类:以Xn结尾、不以Xn结尾。不以Xn结尾的最大子序列,其实就是X1…Xn-1的最大子序列,发现这点很重要。

这样就有:dp( i, j ) = Max( dp( i, j-1 ), Last( j ) ).其中Last( j )表示以Xj结尾的最大子序列的和。

功夫不负有心人,终于把问题规模减少了。但是,一波未平一波又起,新的问题又出现了。Last( j )如何求?即,求以Xj结尾的最大子序列的和。再用DP求解。

Last( j )和Last( j-1 )之间的关系比较简单。Last(j )的值里面必然会包括Xj的值,到底有没有Last( j-1 )也很简单,主要取决于Last( j-1 )是正还是负。

这样就有:Last( j ) = Max( Xj,  Last( j-1) + Xj );

 状态转换方程:

dp( i, j ) = Max( dp( i, j-1 ), Last( j ) )其中:dp(i,j)表示从Xi…Xj的最大子序列和

Last( j ) = Max( Xj, Last( j-1 ) + Xj ); 其中:Last( j )表示以Xj结尾的最大子序列的和

 

       现在,回到POJ1050。想想能不能利用上面的结果?求最大子矩阵,那么只要确定了子矩阵有几行、几列即可。这样,可以枚举子矩阵的行数和列数。

比如,当子矩阵只要一行时,那么只关心它的列从哪开始到那结束就行。哦,这其实就是一个最大子序列和的问题。这一行就是这一串数,求和最大的一段。那么当子矩阵有两行时,怎么办?如何把两行变为一行?一个聪明的想法就是:把这两行按照对应的列加起来。

好了问题已经漂亮的解决了:在原矩阵中任意画出一部分,然后按照对应的列加起来,问题就转变为一个最大子序列和的问题



//下面的是 一维数组 ,最大长序列 的和 最大子串和:

import java.util.Arrays;/*
其实就是最大子段和问题在二维空间上的推广。先说一下一维的情况吧:设有数组a0,a1…an,找除其中连续的子段,使它们的和达到最大。假如对于子段:9 2 -16 2  temp[i]表示以ai结尾的子段中的最大子段和。在已知temp[i]的情况下,求temp [i+1]的方法是:如果temp[i]>0 temp [i+1]= temp[i]+ai(继续在前一个子段上加上ai),否则temp[i+1]=ai(不加上前面的子段),也就是说 状态转移方程:temp[i] = (temp[i-1]>0?temp[i-1]:0)+buf[i];对于刚才的例子 temp: 9 11 -5 2,然后取temp[]中最大的就是一维序列的最大子段。求一维最大子段和的函数:
import java.util.Arrays;/*其实就是最大子段和问题在二维空间上的推广。先说一下一维的情况吧:设有数组a0,a1…an,找除其中连续的子段,使它们的和达到最大。假如对于子段:9 2 -16 2  temp[i]表示以ai结尾的子段中的最大子段和。在已知temp[i]的情况下,求temp [i+1]的方法是:如果temp[i]>0 temp [i+1]= temp[i]+ai(继续在前一个子段上加上ai),否则temp[i+1]=ai(不加上前面的子段),也就是说 状态转移方程:temp[i] = (temp[i-1]>0?temp[i-1]:0)+buf[i];对于刚才的例子 temp: 9 11 -5 2,然后取temp[]中最大的就是一维序列的最大子段。求一维最大子段和的函数:*/
public class TheMaxSubString
{public static void main(String[] args){// int [] buff ={1,-1,3,4,5,6,7,8,-1,128};int[] buff ={ 4, 9, -17, 7 };System.out.println(Arrays.toString(buff));System.out.println(DpLineMaxSum(buff, 4));int[][] buff2 ={{ 0, -2, -7, 0 },{ 9, 2, -6, 2 },{ -4, 1, -4, 7 },{ -1, 8, 0, -2 } };System.out.println(DpMatrixMaxSum(buff2, 4, 4));}// 最大矩阵和:二维数组public static int DpMatrixMaxSum(int buff[][], int row, int col){int maxSum = 0;int virtualLine[] = new int[col];// 从哪一行开始往下求和for (int i = 0; i < row; i++){// 以i行为基准,需要循环多少次,求for (int temp = 0; temp < row - i; temp++){int j = i + temp;// 以i为基准啊进行往下求和for (int column = 0; column < col; column++){int sum = 0;// 按照列进行相加,for (int k = i; k <= j; k++){sum += buff[k][column];}virtualLine[column] = sum;}int value = DpLineMaxSum(virtualLine, col);maxSum = (maxSum < value) ? value : maxSum;}}return maxSum;}// 最大子串和:一维数组public static int DpLineMaxSum(int buff[], int n){int e = 0;int max = 0;int[] temp = Arrays.copyOf(buff, n);for (int i = 1; i < n; i++){temp[i] = (temp[i - 1] > 0 ? temp[i - 1] : 0) + buff[i];if (max < temp[i]){max = temp[i];e = i;}}System.out.println("line-->" + e);return max;}
}



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