本文主要是介绍图及图的相关算法（附习题），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
遍历算法：
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深度优先搜索（DFS）：
- 深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
- 它通过尽可能深的遍历图的分支来实现目标，再回溯到前面的节点。
- 通常使用递归或栈来实现。
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广度优先搜索（BFS）：
- 广度优先搜索也是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
- 它从根节点开始，沿着树的宽度遍历树的节点，直到找到目标节点为止。
- 通常使用队列来实现。
图的最短路径相关的算法
下面是使用表格来说明Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法和Kruskal算法的区别：
| 算法 | 适用范围 | 边权重 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 备注 |
|---|---|---|---|---|---|
| Dijkstra算法 | 单源最短路径 | 非负权重 | O((V+E)logV) | O(V) | 适用于无向图或有向图，边权重为非负数 |
| Bellman-Ford算法 | 单源最短路径 | 任意权重 | O(VE) | O(V) | 可以处理边权重为负数，但不能处理负权重环 |
| Floyd-Warshall算法 | 所有顶点对之间的最短路径 | 任意权重 | O(V^3) | O(V^2) | 适用于有向图或无向图，可以处理负权重边，不能处理负权重环 |
| Kruskal算法 | 最小生成树 | 任意权重 | O(ElogE) 或 O(ElogV) | O(E+V) | 适用于无向图，边权重可以为任意值，找到最小生成树的算法 |
以下是Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法和Kruskal算法的计算方式的简要描述：
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Dijkstra算法：
- 从源节点开始，维护一个距离数组，记录从源节点到各个节点的当前最短距离。
- 选择距离数组中最小的节点，并更新与该节点相邻的节点的距离。
- 重复以上步骤，直到所有节点都被遍历。
- 该算法使用优先队列来高效选择距禽数组中的最小节点。
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Bellman-Ford算法：
- 初始化距离数组为无穷大，源节点距离设为0。
- 通过松弛操作，不断更新各个节点的距离，直到没有更新为止。
- 重复上述步骤，直到所有边都被松弛。
- 该算法可以处理边权为负数，但不能处理负权重环。
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Floyd-Warshall算法：
- 初始化一个二维数组来记录节点之间的最短距离，初始时该数组的值为边的权重。
- 通过三重循环，不断更新节点之间的最短距离，直到所有节点之间的最短距离都被计算出来。
- 该算法适用于计算所有节点对之间的最短距离，可以处理负权重边，但不能处理负权重环。
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Kruskal算法：
- 将所有边按照权重从小到大排序。
- 依次选择权重最小的边，如果该边的两个节点不在同一个连通分量中，则将其加入最小生成树中。
- 重复上述步骤，直到最小生成树中包含了所有的节点。
- 该算法用于寻找最小生成树，可以处理任意权重的边。
习题
假设有一个有向加权图，图中的顶点用字母表示，边的权重用数字表示。我们以图中的顶点和边的信息来举一个Dijkstra算法的习题。
假设有以下有向加权图：
顶点：A, B, C, D, E
边和权重：(A, B, 4), (A, C, 2), (B, C, 5), (B, D, 10), (C, D, 3), (C, E, 2), (D, E, 4)
现在假设我们要从顶点A出发，使用Dijkstra算法来找到从A到其他顶点的最短路径和距离。我们可以按照以下步骤进行计算：
思路
- 初始化距离数组，将A到各个顶点的距离初始化为无穷大，A到自身的距离初始化为0。
- 选择A作为起始节点，更新A的邻接节点B和C的距离为A到B的距离为4，A到C的距离为2。
- 选择当前距离数组中距离最小的节点C，更新C的邻接节点D和E的距离为A到D的距离为5，A到E的距离为4。
- 选择当前距离数组中距离最小的节点B，更新B的邻接节点D的距离为A到D的距离为5。
- 选择当前距离数组中距离最小的节点D，更新D的邻接节点E的距离为A到E的距离为4。
- 所有节点的最短路径已经计算完毕，得到A到各个顶点的最短路径和距离。
这样就完成了使用Dijkstra算法来计算从A到其他顶点的最短路径和距离的过程。
具体的计算过程
当使用Dijkstra算法解决这个问题时，我们可以按照以下步骤进行计算：
- 初始化距离数组，将A到各个顶点的距离初始化为无穷大，A到自身的距离初始化为0。
| 顶点 | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| 距离 | 0 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
-
选择A作为起始节点，更新A的邻接节点B和C的距离：
- A到B的距离为4
- A到C的距离为2
| 顶点 | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| 距离 | 0 | 4 | 2 | ∞ | ∞ |
-
选择当前距离数组中距离最小的节点C，更新C的邻接节点D和E的距离：
- A到D的距离为5
- A到E的距离为4
| 顶点 | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| 距离 | 0 | 4 | 2 | 5 | 4 |
-
选择当前距离数组中距离最小的节点B，更新B的邻接节点D的距离：
- A到D的距离为5
| 顶点 | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| 距离 | 0 | 4 | 2 | 5 | 4 |
-
选择当前距离数组中距离最小的节点D，更新D的邻接节点E的距离：
- A到E的距离为4
| 顶点 | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| 距离 | 0 | 4 | 2 | 5 | 4 |
这样就完成了使用Dijkstra算法来计算从A到其他顶点的最短路径和距离的过程。
这篇关于图及图的相关算法（附习题）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
