偏微分方程的类型及求解（二）（备份草稿）

本文主要是介绍偏微分方程的类型及求解（二）（备份草稿），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

续《偏微分方程的类型及求解》（一）。
四. 附录
4.1 傅立叶变换的性质
变换形式： （1）傅立叶变换 \hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}e{-j\omega x}f(x)dx ,傅立叶逆变换 f(x)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e{jx\omega}\hat f(\omega)d \omega ； （2）傅立叶余弦变换 \hat f(\omega)=\int_{0}^{+\infty}cos \omega xf(x)dx ,傅立叶逆变换 f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}cosx \omega\hat f(\omega)d \omega ； （3）傅立叶正弦变换 \hat f(\omega)=\int_{0}^{+\infty}sin \omega xf(x)dx ,傅立叶逆变换 f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}sinx \omega\hat f(\omega)d \omega 。
性质
共11个：线性定理、卷积定理、乘积定理、导函数的傅立叶变换、象函数的导数定理、延迟定理、位移定理、积分定理、 \delta 函数的傅立叶变换、相似定理、函数傅立叶正逆变换定理。
要能够写出来，以及要会证明！证明在教材P112-114页，套路一般就两个：要么变量名替换直接正推，要么傅立叶逆变换替换进行逆推。（这些性质实际上给出了特殊形式的原函数的象函数，在以后计算过程中遇到类似的，要能够马上反映过来并套用公式）
例题
1.教材P116 5.1-1,证明： （1） F^{{-1}(\exp(-y|\omega|))=\frac{1}{\pi}\frac{y}{x}2+y^2},y>0 ；（2） F(e^{j \omega_0x}f(x))=\hat f(\omega-\omega_0) ；（3） F(f(at))=\frac{1}{|a|}\hat f(\frac{\omega}{a}) 。
2.教材P116 5.1-2(2),求函数的傅立叶变换： f(x)=\exp(-\pi x^2) 。
答案： e^{{\frac{-\omega}2}{4 \pi}} 。
3.教材P116 5.1-5,求函数 f(x) \begin{equation} =\left{ \begin{aligned} &1-x^2,|x|<1\ &0,|x|\geq 1 \end{aligned} \right. \end{equation} 的傅立叶变换。
答案： \frac{4}{\omega^3}(sin\omega-\omega cos \omega)
4.2 拉普拉斯变换的性质
变换形式： 拉普拉斯变换 \tilde{f(s)}=\int_0^{+\infty}e{-sx}f(x)dx ，拉普拉斯逆变换用展开定理 f(x)=\sum_{k=1}^{n\operatorname{Res}[e}{xs}f(s),s_k]\quad(x\geq 0) ,其中 \operatorname{Res}[e^{xs}f(s),s_k] 表示 e^{xs}f(s) 对应于奇点 s_k 的留数，若 z_0 为 f(z) 的m阶极点，则 \operatorname{Res}f(z_0)=\lim_{z \to z_0}\frac{1}{(m-1)!}{\frac{d^{m-1}}{dz{m-1}}[(z-z_0^m)f(z)]} （很机械，直接套用公式即可）
性质
共10个：线性定理、卷积定理、导函数的拉普拉斯变换、象函数的导数定理、延迟定理、位移

这篇关于偏微分方程的类型及求解（二）（备份草稿）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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