本文主要是介绍《高等统计物理学》5：非平衡态统计物理初步，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
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上一篇文章《高等统计物理学》4：量子系综的实际问题 是统计物理系综的最后一个部分，同时也是平衡态统计物理复习的大结局。下面将开始非平衡态统计物理的复习，在这里笔者只是将相关的概率知识进行罗列，更深层次的非平衡态统计物理的内容待笔者考完试有时间自学后再进行相关的大补充。
四. 非平衡态统计物理初步
1. 中心极限定理
考虑随机变量 X的N次独立测量平均的随机变量 Y ，其概率密度函数为 f Y ( y N − ⟨ X ⟩ ) f_Y(y_N-\langle X \rangle) fY(yN−⟨X⟩)。如果 N → ∞ ， N\rightarrow \infty ， N→∞，记 σ 2 = ⟨ X 2 ⟩ − ⟨ X ⟩ 2 ， \sigma^2=\langle X^2 \rangle-\langle X \rangle^2 ， σ2=⟨X2⟩−⟨X⟩2，则有 f Y ( y N − ⟨ X ⟩ ) = N 2 π 1 σ e − N ( y N − ⟨ X ⟩ ) 2 ( 2 σ 2 ) 。 f_Y(y_N-\langle X \rangle)=\sqrt{\frac{N}{2\pi}}\frac{1}{\sigma}e^{-\frac{N(y_N-\langle X \rangle)^2}{(2\sigma^2)}} 。 fY(yN−⟨X⟩)=2πNσ1e−(2σ2)N(yN−⟨X⟩)2。（因此，不管 f X ( x ) f_X(x) fX(x) 形式如何，只要它有有限的矩， x x x 的大量独立测量的平均值的分布是中心在 < X > <X> <X> 的高斯分布，其方差是 X 的概率密度的方差的 1 N \frac{1}{N} N1。这就是中心极限定理）
证明：（a）首先我们要清楚随机变量 n n n阶矩的定义 ⟨ X n ⟩ = ∑ i x i n f ( x i ) \langle X^n \rangle=\sum_i x_i^nf(x_i) ⟨Xn⟩=∑ixinf(xi)或 ⟨ X n ⟩ = ∫ d x x n f X ( x ) ， \langle X^n \rangle=\int dxx^nf_X(x) ， ⟨Xn⟩=∫dxxnfX(x)，矩给出了分布函数的范围和形状信息，对连续型随机变量，若所有的矩 ⟨ X n ⟩ \langle X^n \rangle ⟨Xn⟩ 都知道，则概率密度函数被完全确定，特殊地，高斯分布被一阶和二阶矩完全确定（反之也成立）。
（b）然后，我们还要知道特征函数， ϕ X ( k ) = ⟨ e i k x ⟩ = ∫ d x e i k x f X ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( i k ) n ⟨ X n ⟩ n ! ， \phi_X(k)=\langle e^{ikx}\rangle=\int dx e^{ikx}f_X(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(ik)^n\langle X^n \rangle}{n!} ， ϕX(k)=⟨eikx⟩=∫dxeikxfX(x)=n=0∑∞n!(ik)n⟨Xn⟩，在上面的积分里以 i k ik ik，在 k = 0 k=0 k=0点进行泰勒展开，很容易就可以的到最后的级数表达式（注意级数展开只当高阶矩足够小时才有意义），推导如下： F ( i k ) = ∫ e i k x f ( x ) d x = ∑ n F ( 0 ) ( n ) ( i k − 0 ) n n ! = ∑ n ( i k ) n ∫ x n e i k x ∣ k = 0 f ( x ) d x n ! = ∑ n ( i k ) n ∫ x n f ( x ) d x n ! = ∑ n ( i k ) n ⟨ X n ⟩ n ! \begin{aligned} F(ik)&=\int e^{ikx}f(x)dx=\sum_n\frac{F(0)^{(n)}(ik-0)^n}{n!}=\sum_n\frac{(ik)^n\int x^ne^{ikx}|_{k=0}f(x)dx}{n!}\\&=\sum_n\frac{(ik)^n\int x^nf(x)dx}{n!} =\sum_n\frac{(ik)^n \langle X^n \rangle}{n!} \end{aligned} F(
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