@Wannafly summer camp Day2 B: Utawarerumono (数学公式, 扩展欧几里得)

本文主要是介绍@Wannafly summer camp Day2 B: Utawarerumono (数学公式, 扩展欧几里得)，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

算术是为数不多的会让久远感到棘手的事情。通常她会找哈克帮忙，但是哈克已经被她派去买东西了。于是她向你寻求帮助。

给出一个关于变量x,y的不定方程ax+by=c，显然这个方程可能有多个整数解。久远想知道如果有解，使得p2*x2+p1*x+q2*y2+q1*y最小的一组整数解是什么。为了方便，你只需要输出p2*x2+p1*x+q2*y2+q1*y的最小值。

输入

第一行三个空格隔开的整数a,b,c(0≤a,b,c≤105)。
第二行两个空格隔开的整数p1,p2(1≤p1,p2≤105)。
第三行两个空格隔开的整数q1,q2(1≤q1,q2≤105)。

输出

如果方程无整数解，输出"Kuon"。
如果有整数解，输出p2*x^2+p1*x+q2*y^2+q1*y的最小值。

样例输入

2 2 1
1 1
1 1

样例输出

Kuon

$ax + by = c$

$p2*x^2+p1*x+q2*y^2+q1*y$

扩展欧几里得求得 $ax + by = c$ 一组特解.

然后利用下式, 判断在对称轴出附近取得最小值.

推导对称轴问题.

过程如下：

$y=\dfrac {c-ax}{b}$ ；将y带入方程可得：

$p_{2}x^{2}+p_{1}x+q_{2}\dfrac {c^{2}+a^{2}x^{2}-2acx}{b^{2}}+q_{1}\dfrac {c-ax}{b}$

$=\left( p_{2}+\dfrac {a^{2}q_{2}}{b^{2}}\right) x^{2}+\left( p_{1}-\dfrac {2acq_{2}}{b^{2}}-\dfrac {aq_{1}}{b}\right) x+\dfrac {q_{2}c^{2}}{b^{2}}+\dfrac {q_{1}c}{b}$

由抛物线的性质可知：方程 $p_{2}x^{2}+p_{1}x+q_{2}y^{2}+q_{1}y$ 的最小值在对称轴附近

由上式化简可知，抛物线的对称轴为： $\dfrac {\dfrac {q_{1}a}{b}+\dfrac {2ac}{b^{2}}-p_{1}}{2( p_{2}+\dfrac {a^{2}}{b^{2}}q_{2})}$

[代码]

#include <bits/stdc++.h>
#include <stdio.h>
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,a,n) for(int i=n;i>=a;i--)typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+10;
const int mod =1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
using namespace std;ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{if(b==0){x=1;y=0;return a;}ll ans=exgcd(b,a%b,x,y);ll temp=x;   x=y;  y=temp-a/b*y;return ans;
}ll getMin(ll a,ll b)
{ll ab = -1.0*b/(2.0*a);ll minn = (1ll<<63)-1;for(ll x = ab - 1000;x <= ab + 1000;x++)minn = min(minn,a*x*x + b*x);return minn;
}int main(int argc, char const *argv[])
{/* code */ll a,b,c,p1,p2,q1,q2;//cout<<exgcd(2,4,a,b)<<endl;scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);scanf("%lld%lld",&p1,&p2);scanf("%lld%lld",&q1,&q2);if(a == 0 && b == 0){if(c == 0)printf("%lld\n",getMin(p2,p1) + getMin(q2,q1));elseputs("Kuon");}else if(a == 0){ll y = c/b;if(c % b == 0)printf("%lld\n",q2*y*y+q1*y + getMin(p2,p1));elseputs("Kuon");}else if(b == 0){ll x = c/a;if(c % a == 0)printf("%lld\n",p2*x*x+p1*x + getMin(q2,q1));elseputs("Kuon");}else{ll x0,y0;ll gcd = exgcd(a,b,x0,y0);if(c % gcd != 0)puts("Kuon");else{x0 = x0*c/gcd;y0 = y0*c/gcd;//x = x0 +(b/gcd)*t;double A,B;B = 1.0*p1 - 2.0*q2*a*c/(b*b) - 1.0*q1*a/b;A = 1.0*p2 + 1.0*q2*a*a/(b*b);ll ab = -B/(2.0*A);ll t = (ab - x0*1.0)/(b/gcd);ll minn = (1ll<<63)-1;for(ll j = t - 1;j <= t + 1;j++){ll x = x0 + (b/gcd)*j,y = y0 - (a/gcd)*j;minn = min(minn,p2*x*x+p1*x+q2*y*y+q1*y);}       printf("%lld\n",minn);}}return 0;
}

这篇关于@Wannafly summer camp Day2 B: Utawarerumono (数学公式, 扩展欧几里得)的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！