Top 100 Linked Question 修炼------第312题

本文主要是介绍Top 100 Linked Question 修炼------第312题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

312. Burst Balloons

题目链接

题目解释

给出n个气球，他们的角标从0到n-1。每个气球上面都画有数字，代表数组中的元素。现在要求你将所有的气球都爆破，如果你选择爆破第i个气球，那么你就会获得nums[left]*nums[i]*nums[right]枚硬币。在这里left和right是和i相邻的角标。在爆破第i个气球之后，left和right代表的气球变成相邻。

你如何能优雅的爆破气球，使得能获得的最大的钱币数?确定你能获得的钱币数。

提示：

• 想像nums[-1]=nums[n]=1,因为他们并不是真实存在的，所以他们不能被爆破
• 0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

Example:

Input: 
[3,1,5,8]Output: 
167 
Explanation: 
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->   [3,8]   -->  [8]  --> []coins =  3*1*5      +  3*5*8    +  1*3*8      + 1*8*1   = 167

题目分析

首先，按照题目的提示，我们为了避免越界情况的发生，应该先在首尾分别加上元素1，并且保证这两个气球是不能被戳破的。然后我们开始分析，怎么才能获取最大的钱币数。既然出现了最多这个词汇，那么就可以考虑往动态规划（DP）方向去思考，最主要的是建立状态转移方程，下面开始分析过程：

这道题的最难点就是找状态转移方程，还是从定义式来看，假如区间只有一个数，比如 dp[i][i]，那么计算起来就很简单，直接乘以周围两个数字即可更新。如果区间里有两个数字，那么就要算两次了，先打破第一个再打破了第二个，或者先打破第二个再打破第一个，比较两种情况，其中较大值就是该区间的dp值。假如区间有三个数呢，比如 dp[1][3]，怎么更新呢？如果先打破第一个，剩下两个怎么办呢，难道还要分别再遍历算一下吗？这样跟暴力搜索的方法有啥区别呢，还要 dp 数组有啥意思。所谓的状态转移，就是假设已知了其他状态，来推导现在的状态，现在是想知道 dp[1][3] 的值，那么如果我们先打破了气球1，剩下了气球2和3，若我们之前已经计算了 dp[2][3] 的话，就可以使用其来更新 dp[1][3] 了，就是打破气球1的得分加上 dp[2][3]。那假如我们先打破气球2呢，只要我们之前计算了 dp[1][1] 和 dp[3][3]，那么三者加起来就可以更新 dp[1][3]。同理，先打破气球3，就用其得分加上 dp[1][2] 来更新 dp[1][3]。

那么对于有很多数的区间 [i, j]，我们如何来更新呢？现在是想知道 dp[i][j] 的值，这个区间可能比较大，但是如果我们知道了所有的小区间的 dp 值，然后聚沙成塔，逐步的就能推出大区间的 dp 值了。还是要遍历这个区间内的每个气球，就用k来遍历吧，k在区间 [i, j] 中，假如第k个气球最后被打爆，那么此时区间 [i, j] 被分成了三部分，[i, k-1]，[k]，和 [k+1, j]，只要我们之前更新过了 [i, k-1] 和 [k+1, j] 这两个子区间的 dp 值，可以直接用 dp[i][k-1] 和 dp[k+1][j]，那么最后被打爆的第k个气球的得分该怎么算呢，你可能会下意识的说，就乘以周围两个气球被 nums[k-1] * nums[k] * nums[k+1]，但其实这样是错误的，为啥呢？dp[i][k-1] 的意义是什么呢，是打爆区间 [i, k-1] 内所有的气球后的最大得分，此时第 k-1 个气球已经不能用了，同理，第 k+1 个气球也不能用了，相当于区间 [i, j] 中除了第k个气球，其他的已经爆了，那么周围的气球只能是第 i-1 个，和第 j+1 个了，所以得分应为 nums[i-1] * nums[k] * nums[j+1]，分析到这里，我们的状态转移方程应该已经跃然纸上了吧，如下所示：

dp[i][j] = max(dp[i][j], nums[i - 1] * nums[k] * nums[j + 1] + dp[i][k - 1] + dp[k + 1][j])                 ( i ≤ k ≤ j )

有了状态转移方程了，我们可以写代码，下面就遇到本题的第二大难点了，区间的遍历顺序。一般来说，我们遍历所有子区间的顺序都是i从0到n，然后j从i到n，然后得到的 [i, j] 就是子区间。但是这道题用这种遍历顺序就不对，在前面的分析中已经说了，我们需要先更新完所有的小区间，然后才能去更新大区间，而用这种一般的遍历子区间的顺序，会在更新完所有小区间之前就更新了大区间，从而不一定能算出正确的dp值，比如拿题目中的那个例子 [3, 1, 5, 8] 来说，一般的遍历顺序是：

[3] -> [3, 1] -> [3, 1, 5] -> [3, 1, 5, 8] -> [1] -> [1, 5] -> [1, 5, 8] -> [5] -> [5, 8] -> [8] 

显然不是我们需要的遍历顺序，正确的顺序应该是先遍历完所有长度为1的区间，再是长度为2的区间，再依次累加长度，直到最后才遍历整个区间：

[3] -> [1] -> [5] -> [8] -> [3, 1] -> [1, 5] -> [5, 8] -> [3, 1, 5] -> [1, 5, 8] -> [3, 1, 5, 8]

我们其实只是更新了 dp 数组的右上三角区域，我们最终要返回的值存在 dp[1][n] 中，其中n是两端添加1之前数组 nums 的个数。参见代码如下：

class Solution:def maxCoins(self, nums):""":param nums::return:"""# 首先将nums首尾均加上1，避免最后乘法判断以及出现越界的情况nums = [1] + [n for n in nums if n != 0] + [1]# 初始化dp，dp[left][right]代表爆炸掉(left, right)范围（不包含两侧）的所有气球的最大coin数。dp = [[0 for i in range(len(nums))] for j in range(len(nums))]for balloons_to_burst in range(1, len(nums) - 1):# number of balloons in (l,r) regionfor l in range(0, len(nums) - balloons_to_burst - 1):# for m and r to be assigned legallyr = l + balloons_to_burst + 1for m in range(l + 1, r):dp[l][r] = max(dp[l][r],dp[l][m] + dp[m][r] + nums[l] * nums[m] * nums[r])return dp[0][-1]

总结

2019/6/13 每个动态规划都要推导一遍....

Reference

https://www.cnblogs.com/grandyang/p/5006441.html

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