An introduction to boundary conditions

本文主要是介绍An introduction to boundary conditions，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

ON BOUNDARY CONDITIONS FOR
MULTIDIMENSIONAL HYPERBOLIC SYSTEMS OF
CONSERVATION LAWS IN THE FINITE VOLUME
FRAMEWORK
多维双曲方程

The initial boundary value problem(I.B.V.P) in the linear case

首先考虑最简单的线性方程

$$\begin{cases} u_t+au_x&=0,x>0,t>0\\ u(x,0)&=u_0(x),x>0 \tag{1.1} \end{cases}$$

• 如果$a>0$,特征线将离开边界$x=0$，进入区域$\mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{+}$,所以我们需要在边界$x=0$处描述解：
  $$u(0,t)=g(t),t>0\tag{1.2}$$
  假如$M=(x,t)\in \mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{+}$,那么$u(M)$是唯一确定的，则(1.1)(1.2)的解如下给出(练习1)
  
  $$\begin{align} u(x,t)&=u_0(x-at),&if&\ &x-at&>0\\ u(x,t)&=g(t-\frac{x}{a}),&if&\ &x-at&<0 \end{align}$$

如果初边值是$C^1$的,且满足相容条件

$$u_0(0)=g(0),u'_0(0)=-\frac{g'(0)}{a}$$
那么解也是$C^1$的。

- 若$a<0$,特征线是由内向外走的，而且 impinging on the boundary；信息是由给定的初值$u_0$带出，不能在边界指定解。这时的解是 $$u(x,t)=u_0(x-at),x\geqslant0,t>0$$

特别的

$$u(0,t)=u_0(-at)$$

注意：$a=0$时，特征线垂直，不需要边界条件。

• 在$0<x<1$的条形区域时，边界条件就必须赋在 $ingoing$的特征上
  $$\begin{align} u(0,t)&=g(t),t>0\ &if&\ a>0\\ u(1,t)&=h(t),t>0\ &if&\ a<0 \end{align}$$
  

二维的数量对流方程

考虑

$$\begin{cases} u_t+au_x+bu_y&=0,(x,y,t ) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times\mathbb{R}^+\\ u(x,y,0)&=u_0（x,y）,(x,y)\in \mathbb{R} \end{cases}$$
它的解是$u(x,y,y)=u_0(x-at,y-bt)$
沿着特征线$x-at=const$和$y-bt=Const$解是常值，对流方向（解释一下？）是$\vec{C}=(c,1),c=(a,b)^T$

对于在区域$Q=O\times \mathbb{R}^+ \subset\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}^+$（用符号$\Sigma 表示Q的边界，用\Gamma=\partial O \times \mathbb{R}^+$表示Q的柱状外表）里的$I.B.V.P$问题，在$\Sigma$上有两种不同的数据：

1. 初值，给在$t=0$平面上的$O$集合里，注意：是整个$O$集合；
2. 边值，给在$\Gamma$上，在$\Gamma$上面，$n_t=0$.

若$an_x+bn_y=c\cdot n=0$就称$O$的边界是characteristic，这里的$n=(n_x,n_y)$是$t=0$平面里的$\partial O$的外法向。

首先考虑“半空间问题”$O=\{(x,y)|x>0,y\in \mathbb{R}\}$,$Q=\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}\times \mathbb{R}_+^*$

这个时候，边界$\Sigma$由两部分构成$(t=0,x\geqslant 0)$ &$\Gamma=\{x=0,t>0\}$,$\forall M^*=(x^*，y^*,t^*)\in Q$,过$M^*$的特征线可以写成

$$\begin{cases} x-at&=x^*-at^*\\ y-bt&=y^*-bt^*\tag{1.4} \end{cases}$$

特征线（1.4）在$t_0=t^*-\frac{x^*}{a}$ 时刻 ，交于边界$x=0$

1. 假设$a>0$,若$x^*>at^*$,则$t_0<0$;但特征线（1.4）交于边界$t=0$ at point $(x_0,y_0,0)$
   $$\begin{array}.x_0&=x^*-at^*\\y_0&=y^*-bt^*\end{array}$$
   这个时候解是由初值给定的
   $$u(x^*,y^*,t^*)=u_0(x^*-at^*,y^*-bt^*)$$
   Otherwise，$0\leqslant t_0 \leqslant t^*, 0\leqslant x^* < at^*$,则相交点$M_0=(0,y_0,t_0) \in \Gamma=\{x=0,t \geqslant 0\}$
   这个时候 $$u(x^*,y^*,t^*)=u(0,y_0,t_0)=u(0,y^*-b(t^*-t_0),t^*-\frac{x^*}{a})$$
   这表明要在边界$x=0$上描述解，这里的特征是 $incoming$

$$\begin{array}.u(0,y,t)&=g(u,t),t>0\\u(x^*,y^*,t^*)&=g(y^*-b\frac{x^*}{a},t^*-\frac{x^*}{a}) \end{array}$$

1.2. 若$a<0$ 特征线于时间$t_0>T$交于边界$x=0$,交于边界$t=0$于$x_0=x^*-at^*,y_0=y^*-bt^*$,因而不能在边界$x=0$上指定边界条件；这时的解是由初值条件决定的；$a=0$时，边界是典型的，也认为是$outging$的边界。

总之，必须在边界的$incoming$ 部分$\Gamma_{-}=\partial O_{-}\times \mathbb{R^+}$给出边界条件。这里的$\partial O_{-}=\{(x,y)\in\partial O，c\cdot n<0\}$特别的是，$\partial O$的外法向量$n=(-1,0)^T;$若$a>0$时，$\Gamma_{-}=\Gamma=\{x=0,t>0\}$;若$a<0,\Gamma_{-}$是空集。

更一般地，考虑有界集 $O\subset\mathbb{R^2}$，为了知道$(x^*,y^*,t^*)\in Q=O\times \mathbb{R^*_{+}}$处的解是否有定义，首先要画出（1.4）那样的特征线，看它与边界$\Sigma$的相交情况:

1. 如果交于平面$t=0$于点$(x_0=x^*-at^*,y_0=y^*-bt^*)\in O$,则解由初值决定 $$u(x^*,y^*,t^*)=u_0(x_0,y_0)=u_0(x^*-at^*,y^*-bt^*)$$
2. 其他情况下，特征线在时间$t_0$交$\Gamma$于$(x_0,y_0,t_0)$,满足$0\leqslant t_0 <t^*$.一方面，在相同的特征线上有$(x^*-x_0,y^*-y_0)^T=(t^*-t_0)C$
3. 

这篇关于An introduction to boundary conditions的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---